Функции коплексного переменого. Задача.

[RIP]

C0rWin
Вам известно лишь, что берется главная ветвь логарифма в точке (точках), где $z^2+z=1$. Отсюда ни в коем случае не следует, что в интересующих Вас точках берется главная ветвь логарифма. Более того, в данном примере так и произойдет.

[C0rWin]

RIP писал(а):

C0rWin
Вам известно лишь, что берется главная ветвь логарифма в точке (точках), где $z^2+z=1$. Отсюда ни в коем случае не следует, что в интересующих Вас точках берется главная ветвь логарифма. Более того, в данном примере так и произойдет.

А вот тут мне не совсем понятно, т.е. точнее ничего не понятно. Можно пояснить? В чем именно разница между тем, что я сказал? Мне нужна ветвь которая выполняет $ln(1)=0$ мне кажется, что эта будет та же самая ветвь что выполняет то же самое для $z^2+z=1$. Если до этого я думал, что-то понимаю, то теперь все затуманилось. Можно пояснить поточнее?

[RIP]

C0rWin
Смотрите, у Вас есть функция $f(z)=g(h(z))$, где $g(z)=\ln z$ - многозначная функция, $h(z)=z+z^2$. Главная ветвь функции $g(z)$ выделяется в области $G=\ldots$ Так вот, когда точка $z$ бегает по интересующему Вас множеству (окружность), точка $h(z)$ совершает полный круг вокруг точки ветвления
($z=0$) логарифма, поэтому заведомо произойдет смена ветви.

Добавлено спустя 5 минут 44 секунды:

Рекомендую всё-таки ознакомиться со ссылочкой Brukvalubа, если Вы еще этого не сделали. Возможно, многие вопросы у Вас пропадут.

[C0rWin]

Как раз сейчас скачал и начинаю ознакамливаться... Пока по прежнему не все понятно. Мне кажется, что мы просто по разному подходим к решению, я просто разделил его на несколько ступенек. Может если вы посмотрите н тот алгоритм, что я привел выше, то будет немного понятнее что я пытаюсь сделать. Я сначала выделил ветвь. Но потом я просто хочу в той ветви что я выделил найти то значение аргумента которое мне подходит, а потом посмотреть, что это все делает с окружностью...

[RIP]

C0rWin
Первые 2 пункта Вашего алгоритма уже неверны, как я объяснил.

Добавлено спустя 9 минут 54 секунды:

Ветвь $\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)$ (главное значение аргумента) не будет непрерывна на интересующем Вас множестве.

[C0rWin]

RIP писал(а):

C0rWin
Первые 2 пункта Вашего алгоритма уже неверны, как я объяснил.

Добавлено спустя 9 минут 54 секунды:

Ветвь $\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)$ (главное значение аргумента) не будет непрерывна на интересующем Вас множестве.

Тогда я совсем запутался. Если я посматрю на точки которые выполняют $z^2+z=1$, то первое их всего две и второе как я спомощью этих точек выделяю ветвь? Потом мне же надо будет смотреть на все точки вида $|z|=1$. И опять таки мне дано условие смотреть на ветвь $log(1)=0$. Я думаю это как то связанно с кругом. Короче я уже в конец запутался.

[Brukvalub]

Тогда еще раз подумайте над этим:

Brukvalub писал(а):

Чтобы выделить ветвь, нужно тем или иным способом запретить возможность обхода вокруг точек ветвления, например, проведя разрез - луч с началом в нуле, проходящий через вторую точку ветвления.

Brukvalub писал(а):

Ведь речь-то идет о функции $f(z)=ln(z+z^2)$, а ветвь Вы выделяете у функции $log(z)=log|z|+iarg(z)$. Первая из функций имеет больше точек ветвления!

Brukvalub писал(а):

И еще: почему бы Вам не разложить сумму z+z^2 на множители , после чего привлечь алгебраические свойства логарифма?

RIP писал(а):

Смотрите, у Вас есть функция $f(z)=g(h(z))$, где $g(z)=\ln z$ - многозначная функция, $h(z)=z+z^2$. Главная ветвь функции $g(z)$ выделяется в области $G=\ldots$ Так вот, когда точка $z$ бегает по интересующему Вас множеству (окружность), точка $h(z)$ совершает полный круг вокруг точки ветвления
($z=0$) логарифма, поэтому заведомо произойдет смена ветви.

RIP писал(а):

Ветвь $\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)$ (главное значение аргумента) не будет непрерывна на интересующем Вас множестве.

[C0rWin]

Brukvalub писал(а):

Тогда еще раз подумайте над этим:

Brukvalub писал(а):

Чтобы выделить ветвь, нужно тем или иным способом запретить возможность обхода вокруг точек ветвления, например, проведя разрез - луч с началом в нуле, проходящий через вторую точку ветвления.

Если я правильно понимаю, что происходит, то для этого мне данно условие $ln(1)=0$?

Brukvalub писал(а):

Ведь речь-то идет о функции $f(z)=ln(z+z^2)$, а ветвь Вы выделяете у функции $log(z)=log|z|+iarg(z)$. Первая из функций имеет больше точек ветвления!

Так мне же сказанно в условие $ln(1)=0$ а не $f(1)=0$.

Brukvalub писал(а):

И еще: почему бы Вам не разложить сумму z+z^2 на множители , после чего привлечь алгебраические свойства логарифма?

Опять таки я все время думал, чтобы привлечь свойства логарифма нужно сначала определиться с веткой.

RIP писал(а):

Смотрите, у Вас есть функция $f(z)=g(h(z))$, где $g(z)=\ln z$ - многозначная функция, $h(z)=z+z^2$. Главная ветвь функции $g(z)$ выделяется в области $G=\ldots$ Так вот, когда точка $z$ бегает по интересующему Вас множеству (окружность), точка $h(z)$ совершает полный круг вокруг точки ветвления
($z=0$) логарифма, поэтому заведомо произойдет смена ветви.

Так мое множество не полная окружность?

RIP писал(а):

Ветвь $\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)$ (главное значение аргумента) не будет непрерывна на интересующем Вас множестве.

А откуда это видно мне до сих пор не ясно.

Хорошо у меня появилась другая идея на почве полного отчаяния. А если я для начала посматрю на трансформацию окружности с помощью $z^2+z$, а потом то что получилось прогоню через $ln(z)$. Но опять таки не ясно с веткой.

[Brukvalub]

Скажите, Вы прочитали

Цитата:

параграф 21 и далее из книги Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. — Лекции по теории функций комплексного переменного

, или что-нибудь аналогичное, содержащее способы выделения однозначных ветвей многозначных функций? Если прочитали, то попробуйте поступать с рассматриваемой Вами функцией тем же способом, какой изложен в руководстве. Подробно описывать здесь способы выделения однозначных ветвей многозначных функций у меня нет ни желания, ни возможности.

[C0rWin]

Да я прочитал предлгаемую вами книгу и еще около пяти ей подобных... Но что поделать, трудновато у меня с пониманием, поэтому и прошу помощи. И уже поверте мне я не первый день сижу над этой задачкой и пытаюсь разобраться.
Я и не просил подробно описывать, мне бы хотя бы схематично, хоть приблизительно. Подробно и так уже в книгах написанно. Мне пояснения (не решение) нужны, на конкретном примере...

[Brukvalub]

Вы неверно выделяете ветвь, попробуйте следовать алгоритму из прочитанных книг. Я RIP много раз уже писали Вам об этом.

[Capella]

C0rWin писал(а):

RIP писал(а):

Ветвь $\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)$ (главное значение аргумента) не будет непрерывна на интересующем Вас множестве.

А откуда это видно мне до сих пор не ясно.

Для того, чтобы аргумент мог быть обозначен непрерывной функцией на какой-то области, достаточно, чтобы эта была связаная область в

$$\mathbb{C} \backslash 0$$

не содержащая "дырочек".

[C0rWin]

Позволю себе попробовать объяснить себя еще раз, ибо мне кажется тут недопонимание. И так мне сказанно воспользоваться веткой логарифма которая выполняет $log(1)=0$.Я знаю что $log(z)=log|z|+iarg(z)+i2\pi n$. Мой следующий шаг, как мне кажется очень логичный, а именно $log(1)=log|1|+iarg(1)+i2\pi n=0$ откуда я заключаю, что $n=0$. Теперь вы утверждаете, что мой последний(?) шаг неверный. ПОЧЕМУ? Мне все это напоминает начальное условие в решеие диффуров, ну типа есть начальные условие и т.д. может тут начинается моя ошибка?
Это по крайней мере я так понял примеры из книг. Ну я РЕАЛЬНО не могу понять где я неправильно выделяю ветвь??? Вы уж простите за назойливость, ну просто уж очень сильно хочеться понять и закрыть для себя эту тему.

Добавлено спустя 9 минут 22 секунды:

Ну не знаю если нет возможности и желания объяснять, может стоит еще что почитать? Есть ли какие нибудь книги с задачами по теории комплексного переменного?

Добавлено спустя 4 минуты 5 секунд:

Capella писал(а):

C0rWin писал(а):

RIP писал(а):

Ветвь $\ln|z+z^2|+i\arg(z+z^2)$ (главное значение аргумента) не будет непрерывна на интересующем Вас множестве.

А откуда это видно мне до сих пор не ясно.

Для того, чтобы аргумент мог быть обозначен непрерывной функцией на какой-то области, достаточно, чтобы эта была связаная область в

$$\mathbb{C} \backslash 0$$

не содержащая "дырочек".

То что я знаю по этому поводу, то это то что надо просто каким либо способо запретить аргументу опоясывать начало координат, т.е. как нам показывали на примерах просто вырезать отрецательную часть осей икс.

[Brukvalub]

C0rWin писал(а):

То что я знаю по этому поводу, то это то что надо просто каким либо способо запретить аргументу опоясывать начало координат, т.е. как нам показывали на примерах просто вырезать отрецательную часть осей икс.

А вот это уже верные слова! Вот и двигайтесь в этом направлении.

[C0rWin]

Brukvalub писал(а):

C0rWin писал(а):

То что я знаю по этому поводу, то это то что надо просто каким либо способо запретить аргументу опоясывать начало координат, т.е. как нам показывали на примерах просто вырезать отрецательную часть осей икс.

А вот это уже верные слова! Вот и двигайтесь в этом направлении.

Но я именно это и делаю! Или выбрать ветвь и запретить обход вокруг начала координат это не тоже самое?