производная: сложение единицы x раз...

[julia88]

Подскажите, пожалуйста, где ошибка (за любые намеки тоже буду благодарна)

Пусть $x>0$.
Очевидно,
$x = \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_\text {$x$ раз}$,
$x^2 = \underbrace{x + x + ... + x}_\text {$x$ раз}$.
Тогда
$(x^2)' = (\underbrace{x + x + ... + x}_\text {$x$ раз})'$
$2x = \underbrace{x' + x' + ... + x'}_\text {$x$ раз}$
$2x = \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_\text {$x$ раз}$
$2x = x$

[JMH]

Намёк: какие необходимые условия для дифференцииривания?

[julia88]

Непрерывность дифференцируемой функции?
Т.е. так как здесь фигурирует "x раз", это означает, что х - целое неотрицательное число, т.е. дифференцировать нельзя.

Если это так, то как можно четко (грамотно) сформулировать - в чем ошибка?

[AD]

По какому правилу Вы написали вот это:

julia88 в сообщении #473954 писал(а):

Тогда
$(x^2)' = (\underbrace{x + x + ... + x}_\text {$x$ раз})'$

Тут у Вас не дифференцирование суммы, а какая-то более сложная фигня

[Null]

$(x^2)' = (\underbrace{x' + x' + ... + x'}_\text {$x$ раз})+(\underbrace{x + x + ... + x}_\text {$x'$ раз})$

[Kallikanzarid]

Null
Ъ!

[alcoholist]

$$ (x^2)'=\lim_{t\to 0}\frac{\underbrace{x+t + x+t +\ldots+ x+t}_\text {$x+t$ раз}-\underbrace{x+ x + \ldots + x}_\text {$x$ раз}}{t}=$$$$=\lim_{t\to 0}\frac{\underbrace{t+ t + \ldots + t}_\text {$x$ раз}+\underbrace{x+t+ x+t + \ldots + x+t}_\text {$t$ раз}}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{xt+(x+t)t}{t}=2x $$

[julia88]

Я понимаю, что вам бы только поржать (извините за выражение), а мне это объяснить школьнику надо. Нормально будет сказать:

Третий шаг выполнен неправильно, т.к.
$y = \underbrace {x + x + ... +x}_\text {$x$ раз} $
является недифференцируемой функцией?

Плюс, изначально сказано только, что $x>0$, то есть даже первое и второе равенства верны только для натуральных $x$.

Спасибо за помощь.

[PAV]

Запишите что-нибудь вроде $2.5^2$ своим методом

[Gortaur]

julia88
Юлия, объясните, что ошибка как раз распространенная - и прекрасна показан на примере Null. Ведь дело в том, что в выражении зависимость от икса встречается два раза - и это существенно влияет на решение задачи.

[Kallikanzarid]

Gortaur
То есть вас не смущает, что нам предлагают складывать нецелое число раз?

[Circiter]

2Kallikanzarid
Не, ну как-бы выражение $x=1+1+\ldots+1$ уже намекает на целочисленность...

2julia88

Цитата:

Третий шаг выполнен неправильно, т.к.
$y=\underbrace{x+x+\ldots+x}_\text{$x$ раз}$
является недифференцируемой функцией?

Дело в том, что когда вы писали $(x^2)'=(\underbrace{x+x+\ldots+x}_\text{$x$ раз})'$, то вы применяли штрих к сумме в скобках, но забывали применить к выражению "$x$ раз", а оно тоже ведь содержит $x$ и должно быть продифференцированно. Это ровно то, что написал Null ещё в самом начале, только словами. :)

Лучше объясняйте вашему подопечному, почему $(x^2)'=2x$, обычным путем, ну через определение производной: $(x^2)'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Left[\left((x+\Delta x)^2-x^2\right)/{\Delta x}\Right]=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Left[\Delta x+2x\Right]=2x$.

[Kallikanzarid]

Circiter в сообщении #474077 писал(а):

Не, ну как-бы выражение $x=1+1+\ldots+1$ уже намекает на целочисленность...

А что, мы умеем дифференцировать функцию из $\mathbb{N}$?

[Gortaur]

Kallikanzarid
Сего смущаться - со школьницками не общаться. Понятное дело, что корректностью тут и не пахнет, и такие рассуждения в общем не приведут к желаемым ответам, но я просто отметил в чем здесь основная ошибка. Она заключается не в неформальном подходе, а в счете производной лишь от части функции. Кстати, сбивает на это именно неформальный подход.

[Kallikanzarid]

Gortaur в сообщении #474098 писал(а):

Сего смущаться - со школьницками не общаться.

Вы хотели сказать "с дебилами-школьными учителями", что на школьников-то пенять?

Gortaur в сообщении #474098 писал(а):

Она заключается не в неформальном подходе, а в счете производной лишь от части функции.

Она заключается в том, что для вычисления производной применяется формула, которую применять мы не имеем права, потому что она не имеет смысла для нецелых значений функции $x \mapsto x^2$, а мы должны их рассматривать при вычислении предела. "Спасает" нас при этом (безосновательное) применение правила Лейбница.