Почему алгебра=геометрия?

[AD]

Удивительно всё-таки, как нас легко затроллить

Переношу в дискуссионный раздел.

[Батороев]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #473948 писал(а):

А вот задача, например, разложения числа на простые множители - алгебраическая?

При желании практически любой задаче можно найти геометрическую интерпретацию.
Например, для данной:
Имеется горизонтальная прямая.
Опускаем к точке горизонтали $B$ перпендикуляр $AB=\sqrt n$.
Строим прямоугольный треугольник такой, что $AB$ является высотой, опущенной из прямого угла $A$, а проекция одного из катетов равна $1$ (соответственно, проекция второго катета равна $n$).
Вопрос: Можно ли при заданном $n$ поворотом прямого угла вокруг точки $A$ добиться того, что проекции обоих катетов на горизонталь будут также целочисленными?

[alcoholist]

Munin в сообщении #473926 писал(а):

Вы, случаем, не знаете геометрической интерпретации для понятий центра группы

инвариантные торы в группах Ли...

Мне такая (общая) мысль пришла: любая "геометрическая" интерпретация понятий теории групп сводится к рассмотрению "абстрактной группы" как группы преобразований подходящего пространства

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #473991 писал(а):

Мне такая (общая) мысль пришла: любая "геометрическая" интерпретация понятий теории групп сводится к рассмотрению "абстрактной группы" как группы преобразований подходящего пространства

На мой взгляд, это все же узковато. Вряд ли можно дать самую-самую лучшую (без контекста) интерпретацию абсолютно всем важным понятиям из алгебры, но наверняка между ними и определенными геометрическими вопросами имеется тесная связь.

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #473995 писал(а):

На мой взгляд, это все же узковато

любая группа -- это группа преобразований, не так ли?-)

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #473997 писал(а):

любая группа -- это группа преобразований, не так ли?-)

Это само по себе не интересно

[alcoholist]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #473999 писал(а):

Это само по себе не интересно

другого смысла у групп нет:(

впрочем... это оффтопик

[Munin]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #473991 писал(а):

инвариантные торы в группах Ли...

Интересно, можно подробности? (если хотите, приватом)

alcoholist в сообщении #474001 писал(а):

другого смысла у групп нет:(

Есть. Линии со стрелочками :-) Впрочем, это, кажется, тот же самый смысл - просто группа действует на самой себе...

Батороев в сообщении #473972 писал(а):

Вопрос: Можно ли при заданном $n$ поворотом прямого угла вокруг точки $A$ добиться того, что проекции обоих катетов на горизонталь будут также целочисленными?

Красиво, но это только формулировка, вот если бы решение было тоже геометрическим...

[_hum_]

ИМХО
Алгебра и геометрия исторически связаны.
Евклидова геометрия изучала отношения ("принадлежит", "находится между", "конгруэнтен" и проч.) между известными нам из практики понятиями (точками, прямыми, плоскостями, углами, их мерами и проч.). Позже осознали, что все результаты получаются из постулатов на основе вывода, и если записать эти постулаты в чисто математической форме (приписывая например, точке - символ $\alpha$, прямой - $\beta$, а отношению принадлежности точки прямой - обозначение $R_{\in}(\alpha,\beta)$), то получим наборы абстрактных аксиом, накладывающих ограничения на действия с этими самыми абстрактными значками, а всякий вывод сведется к манипуляции значками по определенным, заданным аксиомами, правилам. Вот тут на сцену и выходит элементарная алгебра как наука, изучающая такие абстрактные манипуляции значками. В этом плане наверное "в первом приближении" элементарную алгебру можно рассматривать как формальную теорию, а геометрию - как ее модель. Потому и можно рассчитывать всякую алгебраическую задачу (речь об элементарной алгебре) свести к геометрической (к задаче получения доказательства теоремы в рамках геометрической аксиоматики), и наоброт. Геометрическая теория нам ближе тем, что отношения в ней имеют для нас живую наглядную интерпретацию. С другой стороны, алгебра удобнее тем, что не отвлекается на интерпретации.

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #474001 писал(а):

другого смысла у групп нет

Формально смысла вообще нет, а неформально это слишком ограниченный взгляд на вещи. Как любитель алгебраической топологии, я отлично понимаю, что порой группы бывают зарыты в интересных объектах неожиданным образом, и приходится сильно попотеть, чтобы вытащить их на белый свет

[alcoholist]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #474006 писал(а):

Есть. Линии со стрелочками :-) Впрочем, это, кажется, тот же самый смысл - просто группа действует на самой себе...

ага... это прием "геометрической теории групп" -- графы Кэли

-- Вс авг 07, 2011 21:05:26 --

Kallikanzarid в сообщении #474046 писал(а):

Как любитель алгебраической топологии, я отлично понимаю, что порой группы бывают зарыты в интересных объектах неожиданным образом, и приходится сильно попотеть, чтобы вытащить их на белый свет

все равно они действуют на подходящих пространствах... иначе они -- не группы)))

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #474047 писал(а):

все равно они действуют на подходящих пространствах... иначе они -- не группы)))

Спросить меня, это довольно хреновая интерпретация гомологии

-- Пн авг 08, 2011 01:15:25 --

Еще есть диаграммы Дынкина, хотя их лучше к комбинаторике отнести.

[Munin]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #474050 писал(а):

Спросить меня, это довольно хреновая интерпретация гомологии

А может, наоборот, некая более глубокая? :-)

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #474050 писал(а):

Еще есть диаграммы Дынкина

еще колчаны вспомните)))

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #474061 писал(а):

еще колчаны вспомните)))

Боже, они-то тут причем? Мы же не аксиоматику коммутативных диаграмм обсуждаем, в самом деле