давление в центре Земли

[Munin]

Дело не в сферических координатах, а в сферически симметричном распределении плотности, от которого вы перешли к произвольному. И я не думаю, что требует.

[AndreyL]

Munin писал(а):

И я не думаю, что требует.

Ну если коэффициенты присутствуют в уравнениях, то их численные значения должны быть определены. Или уравнения должны быть переписаны так, чтобы эти коэффициенты исчезли. Для абсолютно хрупкого тела коэффициент Пуассона равен 0, смею предположить, что модуль Юнга бесконечен, что дает

$$\Delta\mathbf{u}+\operatorname{grad}\operatorname{div}\mathbf{u}=0,$$

Оно и понятно - в равновесии нет деформации. Но это, к сожалению, совсем не приближает нас к решению.

[Munin]

AndreyL в сообщении #453930 писал(а):

Оно и понятно - в равновесии нет деформации.

Вам это понятно с одного взгляда на получившееся уравнение? Поясните тогда, мне непонятно.

[AndreyL]

Извиняюсь, вынужден был отвлечься.

Munin в сообщении #454117 писал(а):

AndreyL в сообщении #453930 писал(а):

Оно и понятно - в равновесии нет деформации.

Вам это понятно с одного взгляда на получившееся уравнение? Поясните тогда, мне непонятно.

Возможно я чего-то не правильно понимаю, тогда поправьте пожалуйста.
В уравнении $\Delta\mathbf{u}+\operatorname{grad}\operatorname{div}\mathbf{u}=0$ есть $u$, которая обозначает деформацию, т.е. некоторое движение. Но у нас система статична, никто никуда не движется, т.е. $u=\bar 0$

[worm2]

Деформация — не движение. Деформация — это отклонение от "нормы", которое вызывает внутренние напряжения (большие или маленькие в зависимости от ряда коэффициентов). Напряжения в статике компенсируются (гравитацией и другими силами), но они есть.

[AndreyL]

Ну хорошо, но это никак не приближает нас к решению. Как же все-таки составить решабельное уравнение?

[worm2]

Как обычно, если под решабельностью понимать существование численного метода решения. Или в виде ряда...

[AndreyL]

Однако Ваш ответ весьма информативен. Ну да ладно. По существу: метод решения выберем тогда, когда будет понятно, чего решать. Дело в том, что, как Вы, наверное, заметили, в сферической системе при условии сферической симметрии задача решалась очень легко. При отказе от сферической симметрии и переходе к декартовой системе возникли сложности. Было предложено перейти к полю напряжений, и связать их с деформациями. Но тогда в уравнениях появляются коэффициенты Пуассона и Юнга, которых в сферической задаче не было. Есть большое подозрение, что для решения задачи о давлении (как и задачи о векторе гравитации) они и не нужны. Вопрос - как корректно составить уравнение, чтобы там не было излишних коэффициентов?

[Munin]

Если не трогать силы, то надо откуда-то взять недостающие условия, например, задать их принудительно. Я не могу разобраться, какие именно, это выше моего уровня.

Само уравнение уже корректно, просто его недостаточно.

[AndreyL]

Ранее worm2 предлагал занулить недиагональные компоненты тензора напряжений. Насколько это корректно и какой физический смысл имеет?

[Munin]

Это бы имело физический смысл того, что рассматриваемая среда - жидкость. Но жидкость приняла бы сферическую форму, если бы её не сдерживали внешние силы на поверхности, так что отсутствие сил на поверхности, как мне кажется, несовместимо с этим условием.

Хотя... Можно обдумать такие варианты:
1) среда была жидкой, то есть ей дали релаксировать и сбросить все недиагональные напряжения, а потом "заморозили";
2) среда была и остаётся жидкой во всём объёме, и просто удерживается некоторой твёрдой "корочкой" бесконечно малой толщины;
3) занулить не недиагональные компоненты тензона напряжений, а недиагональные компоненты тензора деформаций, и посмотреть, к чему это приведёт.
К сожалению, это всё надо обдумывать, а я во-первых не умею :-( а во-вторых, у меня сейчас голова раскалывается...

[Zai]

в монографии Ляв А. Математическая теория упругости (1935)(http://padabum.com/d.php?id=15006) несколько параграфов по теме,
например: с. 267 Гравитирующий несжимаемый шар.
Для параллепипеда правда ничего нет. Данная задача очень трудоемка, как впрочем и все трехмерные краевые задачи теории упругости. Она аналогична задаче о объемно заряженном параллепипеде.
Вначале необходимо решить задачу о напряженности гравитационного поля. Затем решается задача о напряжениях при действии объемных сил. Задачу можно решить несколькими классическими методами теории упругости, созданными лет 80 назад. Наиболее понятное решение методом разделения переменных.

[Munin]

Zai в сообщении #473985 писал(а):

Затем решается задача о напряжениях при действии объемных сил. Задачу можно решить несколькими классическими методами теории упругости, созданными лет 80 назад. Наиболее понятное решение методом разделения переменных.

Вот не просветите ли немного по этим пунктам? Я в замешательстве.

[Zai]

Проще начать разбираться на сфере(Ляв, стр. 268).
Для несжимаемого тела
$\frac {dP_0} {dr}=-g \rho \frac r a$
$P_0=\frac 1 2 g \rho \frac {a^2-r^2} a$
Для сжимаемого эта величина меньше. Необходимо записать уравнение равновесия упругой сферы в сферической системе координат, в правой части будет все та же объемно распределенная сила тяжести $-g \rho \frac r a$.

[Munin]

Zai в сообщении #474012 писал(а):

Проще начать разбираться на сфере

На сфере-то всё сходится, мы этот вариант ещё в начале темы рассмотрели.