Интерполяция

[Dan B-Yallay]

Значит я неправильно понял Ваше обьединение операторов. С другой стороны, ваше

Цитата:

Объединением операторов я обозначил объединение образов этих операторов.

не имеет смыслa никакого.
Потому что образом одной точки вообще говоря является множество точек. В моем примере, согласно Вашего определения, образом точки $(1,1)$ будет множество $\{(0,2),(0-1.5)\}$ что не есть элемент $\mathbb R^2$ а уже его подмножество. То есть оператор $W$ отображает из $\mathbb R^2$ непонятно куда ( точнее в $(\mathbb R^2)^2$). В такой ситуации говорить о неподвижной точке не приходится.
Дайте формальное определение для $\bigcup\limits_{n=1}^N\omega _n$.

P.S.
Кстати, по поводу

Цитата:

Отображение $W:\mathcal H(\mathbb R^2)\to\mathcal H(\mathbb R^2)$ является сжимающим, если $\forall B\in \mathcal H(\mathbb R^2),W(B)=\bigcup\limits_{n=1}^N\omega_n (B):|d_n|<1$.

Я его ниасилил: Отображение $W$ сжимающее, если образ $W(B)$ равен обьединению образов $w_n(B) : |d_n|<1$

[vlad_light]

В Вашем случае точка $(1,1)$ перейдёт в точку $(0,2)\bigcup (0,-1.5)$.
$\forall B\in \mathcal H(\mathbb R^2):W(B)=\bigcup\limits_{n=1}^N\omega_n (B)=$
$=\bigcup\limits_{n=1}^N\{(u,v)|\omega_n (x,y)=(u,v),(x,y)\in B\}=$
$=\bigcup\limits_{n=1}^N\{(u,v)|\left( \begin{array}{cc} a_n & 0 \\ c_n & d_n \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} e_n \\ f_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} u \\ v \end{array} \right),(x,y)\in B\}$
Неформально: у нас есть отображения $\omega_n$, которые являются непрерывными. Так вот при $|d_n| <1$ отображение $\omega_n$ будет сжимающим, следовательно имеет единственную неподвижную точку. Т.е. мы можем взять любой компакт, n раз подействовать на него отображением $\omega_n$ и в итоге получим неподвижную точку нашего отображения. Теперь расскажу зачем мы вводим оператор $W$. Допустим, мы выбрали в качестве произвольного компакта единичный квадрат ($Q=\{(x,y)|x,y\geq 0, x,y\leq 1\}$)и у нас есть 2 отображения. Тогда первое отображение переведёт квадрат в какое-то множество, которое, скажем, поместится в прямоугольник $(0,0),(0.5,0),(0.5,0.7),(0,0.7)$, а второе в некоторое множество, которое поместится в прямоугольник $(0.5,0.3),(1,0.3),(1,1),(0.5,1)$. Обозначим объединение этих множеств буквой $G$. Таким образом, оператор $W$ переводит множество $Q$ в множество $G$. Более того, если все $\omega_n$ сжимающие - то и сам $W$ будет сжимающим, следовательно будет иметь единственную неподвижную точку.
Пишите, если что-то непонятно. Если всё ок - буду задавать вопросы

[Joker_vD]

vlad_light в сообщении #473618 писал(а):

В Вашем случае точка $(1,1)$ перейдёт в точку $(0,2)\bigcup (0,-1.5)$
<...>
Пишите, если что-то непонятно. Если всё ок - буду задавать вопросы

Что такое $(0,2)\cup(0,-1.5)$? Элементы $\mathbb R^2$ — не множества, операция объединения для них не определена. Вы почему-то думаете об отображениях в терминах "оно переводит такие-то множества в такие-то", забывая, что изначально отображение переводит точки в точки. Ваше "отображение" переводит точки в множества — значит, оно действует из $\mathbb R^2$ в $2^{(\mathbb R^2)}$.

[vlad_light]

Эй, я же написал, что точка $(1,1)$ перейдёт в точку $(0,2)\bigcup (0,-1.5)$.

Цитата:

Вы почему-то думаете об отображениях в терминах "оно переводит такие-то множества в такие-то", забывая, что изначально отображение переводит точки в точки.

Давайте называть их точками, если Вам так удобнее

[Joker_vD]

vlad_light в сообщении #473623 писал(а):

Давайте называть их точками, если Вам так удобнее

Это не мне удобнее, это принципиальный вопрос. $(0,2)\cup (0,-1.5)$ — не точка $\mathbb R^2$. Это вообще непонятно что — $(0,2)$ и $(0,-1.5)$ не множества, поэтому запись $(0,2)\cup (0,-1.5)$ бессмысленна. Вы имели ввиду $\{(0,2),(0,-1.5)\}$? Или нет? Что это за объект такой?

Вообще, вы первый человек, введший "объединение отображений". Бывают пары функций: это когда из $f\colon X \to Y$ и $g\colon X \to Z$ делают $(f,g)\colon X \to Y\times Z$. Бывают прямые произведения функций: когда из $f\colon X \to X'$ и $g\colon Y\to Y'$ делают $f\times g\colon X\times X' \to Y\times Y'$. Есть области, где использование таких конструкций полезно и оправдано.

Вы же из $f\colon X\to X$, $g\colon X\to X$ делаете $f\cup g\colon X \to \mathscr S(X)$, где $\mathscr S(X)$ — что-то невнятное, слепленное из $X$, причем в любом случае $\mathscr S(X)\ne X$.

[vlad_light]

Ещё раз.
Определим множество $\mathcal H(\mathbb R^2):=\{B\subset\mathbb R^2|\mathrm{B-compact}\}$.
Далее определим отображение $W:\mathcal H(\mathbb R^2)\to\mathcal H(\mathbb R^2)$:
$\forall B\in \mathcal H(\mathbb R^2):W(B)=\bigcup\limits_{n=1}^N\omega_n (B)$,
где $\omega_n:\mathcal H(\mathbb R^2)\to\mathcal H(\mathbb R^2)$ - афинное преобразование, определяемое как:
$\forall B\in \mathcal H(\mathbb R^2):\omega_n(B):=\{x\in \mathbb R^2|x=Tb+V, b\in B\} $,
где $T\in \mathrm{Mat_{2\times 2}(\mathbb R)},V\in\mathbb R^2$.
---
Теперь о примере:
$\{(1,1)\}$ - это компакт в $\mathbb R^2$, поскольку точка(как множество) замкнута и ограничена. Следовательно $\{(1,1)\}\in\mathcal H(\mathbb R^2)$.
Подействуем оператором $W$ на эту точку (как точку пространства $\mathcal H(\mathbb R^2)$, а не $\mathbb R^2$) и в результате получим точку $\{(0,2)\}\cup \{(0,-1.5)\}$. $\{(0,2)\}$ и $\{(0,-1.5)\}$ замкнтуы в $\mathbb R^2$, а конечное объединение замкнутых множеств - замкнутое множество, а также множество $\{(0,2)\}\cup \{(0,-1.5)\}$ ограничено в $\mathbb R^2$. Из всего этого следует, что $\{(0,2)\}\cup \{(0,-1.5)\}$ - компакт в $\mathbb R^2$, а значит $\{(0,2)\}\cup \{(0,-1.5)\}\in\mathcal H(\mathbb R^2)$.

(Оффтоп)

Расставил везде скобочки, теперь будет правильнее

[Dan B-Yallay]

vlad_light писал(а):

Ещё раз.
Определим множество $\mathcal H(\mathbb R^2):=\{B\subset\mathbb R^2|\mathrm{B-compact}\}$.
Далее определим отображение $W:\mathcal H(\mathbb R^2)\to\mathcal H(\mathbb R^2)$:
$\forall B\in \mathcal H(\mathbb R^2):W(B)=\bigcup\limits_{n=1}^N\omega_n (B)$,
где $\omega_n:\mathcal H(\mathbb R^2)\to\mathcal H(\mathbb R^2)$ - афинное преобразование, определяемое как:
$\forall B\in \mathcal H(\mathbb R^2):\omega_n(B):=\{x\in \mathbb R^2|x=Tb+V, b\in B\} $,

Хорошо, пусть Ваше $W$ переводит компакты в компакты то есть некоторые множества в множества.

Цитата:

Таким образом, оператор $W$ переводит множество $Q$ в множество $G$. Более того, если все $w$ сжимающие - то и сам $W$ будет сжимающим, следовательно будет иметь единственную неподвижную точку.

1) Так как оператор $W$ работает с компактами (по Вашему же определению), то он максимум может иметь неподвижный компакт. То есть должен переводить компакт $Q$ в $Q$.

2) Термин сжимающее отображение имеет смысл только для метрических пространств. Теорема Банаха о неподвижной точке, которую Вы упоминаете и активно используете для $w_n$, неприменима к оператору $W$ пока Вы не введете понятие расстояния между компактами.

[vlad_light]

Цитата:

То есть должен переводить компакт $Q$ в $Q$.

Только в том случае, если $Q$ является неподвижной точкой оператора. В противном случае будет выполняться: $\forall B\in\mathcal H(\mathbb R^2):W^{(n)}(B)\to G,n\to\infty$, где $G\in\mathcal H(\mathbb R^2)$ - неподвижная точка оператора.

Цитата:

Термин сжимающее отображение имеет смысл только для метрических пространств.

Пространство $(\mathcal H(\mathbb R^2),h)$ является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Более того, оно является полным, поскольку пространство $(\mathbb R^2,d)$ - полное. Поэтому теоремой Банаха я имею право пользоваться.
Пока всё хорошо?

[Circiter]

И, главное, ни слова о фракталах... :)

2vlad_light
По теме. Если все $\omega_n$ сжимающие (на плоскости и в эвклидовой метрике), то и $W$ -- сжимающий оператор (на булеане плоскости в хаусдорфовой метрике). Это теорема, см. элементарное доказательство в классических работах по теории фракталов.

Для практических применений важен именно такой вывод. Но если вас все-таки почему-то интересует первоначальный вопрос, то тут надо подумать; мало того, что $W$ не будет гарантированно сжимающим (нарушены условия теоремы), так ещё и диаметр результата итерирования объединения образов $\omega_n$ будет расти, непредсказуемо меняя расстояние в хаусдорфовой метрике между какими-нибудь двумя такими растущими компактами (устредненно расстояние может уменьшаться, но немонотонно, по-видимому)... В общем, сначала от вас нужно разумное обоснование вашей идеи. :)

Что могу сказать точно. С точки зрения программирования, в реальном ПО функции $\omega_n$ обычно выбираются и применяются в случайном порядке, а не все сразу. Поэтому для софта важно, чтобы система $\omega_n$ была сжимающей именно в среднем, тогда она будет работать и давать желаемые фракталоподобные картинки, или восстанавливать сжатую картинку или интерполяровать данные или распознавать образы или предсказывать курсы валют или варить кофе; в общем, на практике одна-две из $\omega_n$ могут быть несжимающими, но строго говоря, при этом неподвижной точки оператора $W$ может или не существовать или она будет не единственной (единственнсть важна при фрактальном сжатии/интерполяции, существование там и так выполняется заранее).