Я не догадался это определение прочитать (точнее, поленился искать в книжке). Поэтому сначала понимал "конус" в абстрактно-геометрическом смысле, как объединение всех лучей, выходящих из некоторой фиксированной точки и проходящих через некоторую кривую, которую и можно считать основанием. Тогда он получается однополостным; но, разумеется, в этом определении можно лучи заменить на прямые, и тогда получится соответствующий двухполостной конус. Если же под конусом в узком смысле понимать соответствующую поверхность второго порядка, то, конечно, его всегда можно считать круговым -- достаточно подходящим образом наклонить плоскость сечения по отношению к оси конуса. И наоборот: любой "круговой по Прасолову" конус -- это некоторая поверхность второго порядка.
Решение самого Прасолова подразумевает наличие и однополостных (окружности пересекаются), и двухполостных (окружности не пересекаются) конусов.
Не будут. Пусть одна окружность -- "экваториальная", а вторая наклонена по отношению к ней. Следуя Прасолову буквально, мы можем выбирать любую плоскость, проходящую через прямую, соедняющую центры этих окружностей. Правильное построение получится, если выбранная плоскость перпендикулярна обеим окружностям (т.е. тем плоскостям, в которых окружности расположены). А вот если развернуть выбираемую плоскость вокруг той прямой, скажем, на 90 градусов, то построение окажется очевидно неправильным. Соответственно, и при любом вообще нетривиальном развороте оно будет неправильным.
В задаче 20.23. речь идет об антипараллельных сечениях.
Допустим, имеется конус, в основании которого лежит окружность, принадлежащая горизонтальной плоскости. Имеется прямая

, принадлежащая горизонтальной плоскости, проходящая через центр окружности и перпендикулярная оси конуса.
Разворотом вершины конуса на

относительно нормали к горизонтальной плоскости, проходящей через центр окружности, мы получаем второй конус.
Поворотом второго конуса вокруг прямой

совмещаем вершины обоих конусов. Теперь основание (окружность) второго конуса находится в антипараллельном сечении первого конуса. Для сечения, которому принадлежит вершина конуса и прямая

обе окружности конгруэнтны. Поэтому при применяемом Вами развороте на

построение, на мой взгляд, будет все же правильным. На счет сечений, проходящих под другими углами, определенно сказать пока ничего не могу (думаю).