Неразрешимая задача

[vvsss]

В очень хорошей книге
В. В. Прасолов. Задачи по стереометрии: Учебное пособие. –М.: МЦНМО, 2010. – 352 с.
встречаются неразрешимые задачи. Например:
20.25. На сфере S даны две окружности C1 и C2. Докажите, что через окружности C1 и C2 можно провести либо два конуса, либо конус и цилиндр.
Но ведь это утверждение недоказуемо!

[TOTAL]

vvsss в сообщении #473620 писал(а):

Но ведь это утверждение недоказуемо!

Утверждение взято из книги дословно?
Почему оно недоказуемо?

[ewert]

vvsss в сообщении #473620 писал(а):

20.25. На сфере S даны две окружности C1 и C2. Докажите, что через окружности C1 и C2 можно провести либо два конуса, либо конус и цилиндр.Но ведь это утверждение недоказуемо!

Почему же недоказуемо. Доказуемо, что оно неверно. Для круговых конусов -- тривиально неверно. Можно было бы предположить, что оно верно для хотя бы эллиптических; но и это очевидно не пройдёт, достаточно рассмотреть две непересекающихся окружности.

[vvsss]

В утверждении подразумевают именно не круговые конусы.
Эти конусы имеют два круговых сечения, но сечение, перпендикулярное оси не круговое
Если окружности не пересекаются проблем нет рисунки это демонстрируют.
Утверждение из книги скопировано точно.

[MathKvant]

А вот сама книга ftp://ftp.mccme.ru/users/prasolov/stereo/stereo.pdf

[Батороев]

vvsss в сообщении #473751 писал(а):

Если окружности не пересекаются проблем нет рисунки это демонстрируют.

А если окружности не пересекаются и их диаметры не равны?!

-- 06 авг 2011 13:20 --

На Вашем рисунке видно, что цилиндр проходит через две окружности, а конус, вроде, и не проходит.

[ewert]

vvsss в сообщении #473751 писал(а):

рисунки это демонстрируют.

А, ну это я просто неправильно прочитал условие из-за двусмысленности терминологии. Я под конусом понимал границу соответствующей односвязной области, и тогда конус, проходящий через обе окружности -- только один (не считая исключительных случаев). Если же иметь в виду коническую поверхность (двухполостную), то тогда возможны, конечно, именно два случая: в первом случае вершина конуса лежит "между" окружностями (так, что одна окружность оказывается на границе одной полости, другая -- на другой), во втором -- "по одну сторону" от окружностей (и тогда обе окружности сидят на одной и той же полости).

[Батороев]

У В. В. Прасолова задача идет под номером 20.25. Там же дается определение конуса. По-моему, речь идет все же об однополостной фигуре.

[ewert]

Батороев в сообщении #473836 писал(а):

Там же дается определение конуса. По-моему, речь идет все же об однополостной фигуре.

Там (в этой задаче) нет определения конуса, хотя понять, о чём идёт речь, всё-таки можно. И идёт она именно (вообще говоря) о двухполостном конусе, см. ссылку на задачу 20.12.

Другое дело, что решение там -- крайне небрежное, вплоть до неверности. Уже слова "Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сферы и окружностей" не годятся: они не сработают для случая, когда центр одной из окружностей совпадает с центром сферы. Надо честно говорить о плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно обеим окружностям. Не уточнено, в каком порядке следует следует "скрещивать" точки $A,B,C,D$, а это существенно. Ну и, наконец, даже сама формулировка условия, строго говоря, неверна -- Прасолов потерял два довольно очевидных случая: когда получаются два цилиндра и когда только один конус (или только один цилиндр).

[vvsss]

Уважаемый неизвестный участник!
Вы сформулировали то, о чём я думал, когда открыл тему, но сделали это блестяще!
Я бы так не смог.

Может Вы или кто ещё поможете другой задаче, которую я пока действительно не понимаю.
Это 20.21. Четыре сферы попарно касаются в различных точках, и их центры лежат в одной плоскости. Пятая сфера касается всех этих сфер. Найдите отношение её радиуса к расстоянию от её центра до плоскости. (Прасолов 20.21).Формулировка не совсем совпадает из-за обнаруженной проблемы. У Прасолова указан ответ.
Загадки для меня начинаются с фразы
И образы этих сфер, и образ сферы S касаются пары параллельных плоскостей, поэтому их радиусы равны.
Дапее текст завязанный на этой идее.
Рассмотрим (для образов при инверсии) сечение плоскостью, равноудалённой от пары наших параллельных плоскостей. Пусть A и B (лежащие в плоскости)—центры образов сфер, C—центр третьей сферы, a CD—высота равностороннего треугольника ABC. Если R—радиус сферы S*, тоCD =p3AC2= √3R. Поэтому для сферы S* отношение радиуса к расстоянию от центра до плоскости _ равно 1 :√3. Остаётся заметить, что при инверсии с центром, принадлежащим плоскости _, отношение радиуса сферы к расстоянию от её центра до плоскости _ одно и то же и для сферы S, и для сферы S*(см. задачу 20.8).
На мой взгляд здесь что-то не так. Не обязаны сферы касаться двух плоскостей - только одной. И если радиус образа пятой сферы это среднее геометрическое образов третьей и четвертой - все получается. При этом ответ уже не по Прасолову.

На этом рисунке исходные сферы без пятой.

На этом рисунке результат инверсии - Рисунок прилагаю, но уверенности пока нет, так как не построил
пятую сферу. Или надо решить систему не самых сладких уравнений, или разобраться с инверсией.
Заранее благодарен.
Владимир

[Батороев]

ewert в сообщении #473845 писал(а):

Батороев в сообщении #473836 писал(а):

Там же дается определение конуса. По-моему, речь идет все же об однополостной фигуре.

Там (в этой задаче) нет определения конуса, хотя понять, о чём идёт речь, всё-таки можно. И идёт она именно (вообще говоря) о двухполостном конусе, см. ссылку на задачу 20.12.

Конкретно в задаче определения нет, но параграф, к которому эта задача относится, так и называется "Конус" и тут же дается определение, прочитав которое много раз, я наверное с Вами соглашусь насчет двухполостности (тем более, что посмотрел решение в книге, о существовании которого до настоящего времени не догадывался).

Цитата:

§ 4. Конус
Пусть даны окружность C и точка O, лежащая вне плоскости этой окруж-
ности. Конусом называют фигуру, заметаемую всеми прямыми, соединяю-
щими данную точку O с точками данной окружности C. Если точка O ле-
жит на прямой, проходящей через центр окружности C перпендикулярно
её плоскости, то конус называют прямым, а если не лежит, то наклонным.
Окружность C называют круговым основанием конуса, а точку O называют
его вершиной.
20.23. Докажите, ...

ewert в сообщении #473845 писал(а):

Другое дело, что решение там -- крайне небрежное, вплоть до неверности. Уже слова "Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сферы и окружностей" не годятся: они не сработают для случая, когда центр одной из окружностей совпадает с центром сферы.

Вы, по-видимому, намекаете, что через две точки в пространстве можно провести множество плоскостей? Но не будут ли все построения, выполненные на основе всех этих плоскостей, вести к одним и тем же конусам?

[ewert]

vvsss в сообщении #473943 писал(а):

На этом рисунке исходные сферы без пятой.

Вы неправильно нарисовали: по условию ведь каждая из шести пар сфер должна быть соприкасающейся. Т.е. надо нарисовать сначала три соприкасающихся сферы, а четвёртую втиснуть между ними. Так что тут у Прасолова всё верно, только несколько занудно (на мой вкус) изложено.

Батороев в сообщении #473968 писал(а):

параграф, к которому эта задача относится, так и называется "Конус" и тут же дается определение

Я не догадался это определение прочитать (точнее, поленился искать в книжке). Поэтому сначала понимал "конус" в абстрактно-геометрическом смысле, как объединение всех лучей, выходящих из некоторой фиксированной точки и проходящих через некоторую кривую, которую и можно считать основанием. Тогда он получается однополостным; но, разумеется, в этом определении можно лучи заменить на прямые, и тогда получится соответствующий двухполостной конус. Если же под конусом в узком смысле понимать соответствующую поверхность второго порядка, то, конечно, его всегда можно считать круговым -- достаточно подходящим образом наклонить плоскость сечения по отношению к оси конуса. И наоборот: любой "круговой по Прасолову" конус -- это некоторая поверхность второго порядка.

Батороев в сообщении #473968 писал(а):

Но не будут ли все построения, выполненные на основе всех этих плоскостей, вести к одним и тем же конусам?

Не будут. Пусть одна окружность -- "экваториальная", а вторая наклонена по отношению к ней. Следуя Прасолову буквально, мы можем выбирать любую плоскость, проходящую через прямую, соедняющую центры этих окружностей. Правильное построение получится, если выбранная плоскость перпендикулярна обеим окружностям (т.е. тем плоскостям, в которых окружности расположены). А вот если развернуть выбираемую плоскость вокруг той прямой, скажем, на 90 градусов, то построение окажется очевидно неправильным. Соответственно, и при любом вообще нетривиальном развороте оно будет неправильным.

Кроме того, есть ещё такой нюанс. Прасолов там ссылается на задачку 20.12 довольно легкомысленно -- строго говоря, нужно бы добавить ещё энное количество заклинаний. Так вот: если акцентировать внимание на перпендикулярность вспомогательной плоскости к обеим окружностям (а в "невырожденном" случае это получается, разумеется, автоматом), то количество необходимых заклинаний минимально, т.к. можно воспользоваться соображениями симметрии. Если же не акцентировать, то рассуждения становятся как-то скользкими.

[Батороев]

ewert в сообщении #473981 писал(а):

Я не догадался это определение прочитать (точнее, поленился искать в книжке). Поэтому сначала понимал "конус" в абстрактно-геометрическом смысле, как объединение всех лучей, выходящих из некоторой фиксированной точки и проходящих через некоторую кривую, которую и можно считать основанием. Тогда он получается однополостным; но, разумеется, в этом определении можно лучи заменить на прямые, и тогда получится соответствующий двухполостной конус. Если же под конусом в узком смысле понимать соответствующую поверхность второго порядка, то, конечно, его всегда можно считать круговым -- достаточно подходящим образом наклонить плоскость сечения по отношению к оси конуса. И наоборот: любой "круговой по Прасолову" конус -- это некоторая поверхность второго порядка.

Решение самого Прасолова подразумевает наличие и однополостных (окружности пересекаются), и двухполостных (окружности не пересекаются) конусов.

ewert в сообщении #473981 писал(а):

Не будут. Пусть одна окружность -- "экваториальная", а вторая наклонена по отношению к ней. Следуя Прасолову буквально, мы можем выбирать любую плоскость, проходящую через прямую, соедняющую центры этих окружностей. Правильное построение получится, если выбранная плоскость перпендикулярна обеим окружностям (т.е. тем плоскостям, в которых окружности расположены). А вот если развернуть выбираемую плоскость вокруг той прямой, скажем, на 90 градусов, то построение окажется очевидно неправильным. Соответственно, и при любом вообще нетривиальном развороте оно будет неправильным.

В задаче 20.23. речь идет об антипараллельных сечениях.
Допустим, имеется конус, в основании которого лежит окружность, принадлежащая горизонтальной плоскости. Имеется прямая $a$, принадлежащая горизонтальной плоскости, проходящая через центр окружности и перпендикулярная оси конуса.
Разворотом вершины конуса на $180^0$ относительно нормали к горизонтальной плоскости, проходящей через центр окружности, мы получаем второй конус.
Поворотом второго конуса вокруг прямой $a$ совмещаем вершины обоих конусов. Теперь основание (окружность) второго конуса находится в антипараллельном сечении первого конуса. Для сечения, которому принадлежит вершина конуса и прямая $a$ обе окружности конгруэнтны. Поэтому при применяемом Вами развороте на $90^0$ построение, на мой взгляд, будет все же правильным. На счет сечений, проходящих под другими углами, определенно сказать пока ничего не могу (думаю).

[ewert]

Батороев в сообщении #473989 писал(а):

В задаче 20.23. речь идет об антипараллельных сечениях.

Зачем, зачем она идёт?... Это задача к обсуждаемой 2.25 отношения не имеет.

Батороев в сообщении #473989 писал(а):

Поэтому при применяемом Вами развороте на $90^0$ построение, на мой взгляд, будет все же правильным.

Так, рисуйте (только аккуратно).

Будем считать, что плоскость рисунка проходит через центр сферы перпендикулярно обеим окружностям. Проецируем всё на эту плоскость. Тогда первая окружность превращается в хорду $A_1B_1$ окружности, являющейся пересечением сферы с плоскостью рисунка; вторая -- в хорду $A_2B_2$. Центры окружностей переходят в середины этих хорд; обозначим их соответственно как $O_1$ и $O_2$. Для определённости считаем, что $A_1B_1$ -- это диаметр сферы (я напомню: мы рассматриваем случай, когда центр одной из окружностей совпадает с центром сферы); что $A_1B_1$ расположен горизонтально, а $A_2B_2$ -- наклонно и выше диаметра; что точки $A$ лежат левее точек $B$ и что $A_2$ лежит ниже $B_2$. Это для определённости.

Конструкция Прасолова предполагает (к сожалению, неявно!), что мы рассматриваем именно это сечение. Тогда вершина конуса $P$ -- это пересечение линий $A_1A_2$ и $B_1B_2$; она будет расположена где-то слева и вверху вне окружности. (Второй рассматривавшийся там вариант -- пересечение $A_1B_2$ и $A_2B_1$ внутри окружности; однако ограничимся первым.) Тут всё нормально.

А вот теперь проведём через центры окружностей другую плоскость (мы ведь якобы имеем на это право), перпендикулярную предыдущей плоскости. На рисунке (т.е. в проекции) она выродится в прямую $O_1O_2$. Ну так и очевидно, что эта прямая промахивается мимо точки $P$.

[Батороев]

Мое восприятие конусов данного типа претерпело существенные изменения. По первости я почему-то посчитал, что сечение, перпендикулярное оси конуса, - это эллипс. Но это не так. Поэтому построение, предложенное мной в предыдущем сообщении, не верно. Для того, чтобы совместить вершину второго конуса с вершиной первого, необходимо повернуть конус не вокруг прямой $a$, а вокруг какой-то другой.
Исходя из вышесказанного, согласен с Вашими доводами.