Как минимум можно решить дифур на каждом таком промежутке - а граничные условия выбрать, чтобы гладкое склеивание было.
Нет, дифуров не нужно.
Ясно, что корни
![$x_1<x_2<\ldots$ $x_1<x_2<\ldots$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/1/9112817b8c7397e7f1ac76864fc64c8182.png)
функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
изолированы и что знаки
![$f'(x_k)$ $f'(x_k)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/7/cf71bbbf7832f6a813b6a441f537baf582.png)
чередуются. Немножко подумав, легко понять, что это же должно быть верно и для корней
![$t_k$ $t_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/509bf7d4f0f63616580a39c4ed8b527d82.png)
функции
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
, причём эти корни должны чередоваться с корнями
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
, т.е.
![$x_1<t_1<x_2<t_2<\ldots$ $x_1<t_1<x_2<t_2<\ldots$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/e/3fe83826540680ca546a0d2718ee26c482.png)
, причём так, чтобы знаки
![$f'(x_k)$ $f'(x_k)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/7/cf71bbbf7832f6a813b6a441f537baf582.png)
и
![$g'(t_k)$ $g'(t_k)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/a/d6aded14dd3ac80a76d0d5aecd5254b482.png)
были одинаковы.
При этом на каждом интервале
![$(x_k;t_k)$ $(x_k;t_k)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/1/2d1fc8789d536e5bca9636525b48aca682.png)
или
![$(t_k;x_{k+1})$ $(t_k;x_{k+1})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/f/05f44b9cf65052aa9ae2fe9340f3209582.png)
отношение
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
к
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
должно быть монотонным, т.е. должно быть
![$f(x)=h(x)\cdot g(x)$ $f(x)=h(x)\cdot g(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/6/ec6fb66f0820f19f14ed591cf4460c7282.png)
, где
![$h(x)$ $h(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/b/82b61730744eb40135709391ec01cbdb82.png)
-- любая гладкая функция соответствующего знака и соответствующей монотонности такая, что
![$h(x_k)=0$ $h(x_k)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/c/5ccdfed844682ad2bbcac033aa812dcd82.png)
и
![$h(t_k)=\infty$ $h(t_k)=\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/b/5cb63ae5aba51e87d716a58abdd0848a82.png)
. Этого достаточно (надо лишь дополнительно позаботиться о гладкости определяемой таким образом функции
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
в окрестностях точек
![$x_k$ $x_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/a/41a0912d0f46af38c7fa2115d8f0386e82.png)
).
Ну так это легко. Точки
![$t_k$ $t_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/509bf7d4f0f63616580a39c4ed8b527d82.png)
назначаем как угодно (скажем, ровно посередине между соответствующими
![$x_k$ $x_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/a/41a0912d0f46af38c7fa2115d8f0386e82.png)
, но это не принципально). В окрестности каждого
![$x_k$ $x_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/a/41a0912d0f46af38c7fa2115d8f0386e82.png)
берём
![$h(x)=-\operatorname{sign}f'(x_k)\cdot f(x)$ $h(x)=-\operatorname{sign}f'(x_k)\cdot f(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/2/ef249fb46e08c4df70ba2466dd13dc4982.png)
(окрестность выбираем достаточно малой -- так, чтобы в её пределах сохранялась монотонность
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
). Аналогично, в окрестностях точек
![$t_k$ $t_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/509bf7d4f0f63616580a39c4ed8b527d82.png)
задаём
![$h(x)=\dfrac{C_k\operatorname{sign}f(t_k)}{x-t_k}$ $h(x)=\dfrac{C_k\operatorname{sign}f(t_k)}{x-t_k}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/c/ccc42f960f6b3ce633f5c789c5961daf82.png)
, где
![$C_k=\mathrm{const}>0$ $C_k=\mathrm{const}>0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/2/48286140a7f4db8e572671f63143988882.png)
. И потом просто продолжаем
![$h(x)$ $h(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/b/82b61730744eb40135709391ec01cbdb82.png)
на промежутки между этими окрестностями произвольным образом с сохранением монотонности и гладкости (ясно, что это возможно, если задать для каждого
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
достаточно большое
![$C_k$ $C_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/5/1a567506286617473a9c0d9b2172f95182.png)
и, конечно, окрестности выбирать непересекающимися).