Вопрос об оценке количества натур2. решений диоф. уравнения

[Volodya-morda]

У кого-нибудь есть какая-то информация о количестве натуральных решений уравнения $x^n+y^n=a$, $a, n$ - некоторые натуральные числа(может хоть какие-то асимптотические оценки с ростом числа $a$)?

[mihiv]

Постановку вопроса,видимо, надо уточнить.Пусть,например, $n$ нечетное $\geq 3,a-\text {простое}>2$,тогда решений нет.

[Sonic86]

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_math ... 0%92%D0%AB
Здесь написано, что надо искать работы Бейкера и Делоне. Однако там для многочлена требуется неприводимость. Хотя Ваш случай может быть сведен к неприводимому (в смысле оценки сверху)
У Делоне в Теории иррациональностей 3-й степени - стр. 246 и далее (хотя это лишь для 3-й степени).

-- Вт авг 02, 2011 17:56:20 --

mihiv в сообщении #472950 писал(а):

Постановку вопроса,видимо, надо уточнить.Пусть,например, $n$ нечетное $\geq 3,a-\text {простое}>2$,тогда решений нет.

Ну просто $f(a,n)=N(x^n+y^n=a)$. Оценить $f(a,n)$ сверху функцией $g(n)$ для всех $a$ (предполагаем, что она есть, хотя не факт).

[Volodya-morda]

В книге Хинчина "Три жемчужины теории чисел" выводится совершенно элементарно оценка для уравнения Варинга ${x_1}^n+{x_2}^n+...+{x_k}^n=m$. Цитирую

Цитата:

Существует такое натуральное число $k=k(n)$, зависящее только от$n$, и такая постоянная $c$, что для любого натурального $N$

$$r_k(m)<cN^{\frac{k}{n}-1}\,\,\,\,\,\,\,\,(1\leq m\leq N)$$

Правда, результат этот весьма посредственный... Хотелось бы какой-то экзотики, что ли!

[Sonic86]

Volodya-morda в сообщении #472971 писал(а):

Правда, результат этот весьма посредственный... Хотелось бы какой-то экзотики, что ли!

Чем проще тем лучше! Об экзотику проще убиться...
Хотя оценка простая совсем. Все-таки попробуйте названные книжки найти и что-то попытаться сделать по аналогии. В книге Делоне оценка делается вообще константой (не более 18 решений).
Интересно, есть ли хоть одна пара $(a,n)$ такое, что решений больше одного?