кубический корень из комплексного числа

[sniffer]

Помогите пожалуйста разобраться:
Как определён кубовый корень из числа?

\[ \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r} \cdot \exp (\frac{{i\theta }} {3}) \]

Или как то подругому?
Если так, тогда:

\[ \sqrt[3]{{ - 8}} = 1 + i\sqrt 3 \]

А если так, тогда не сходится с разными вещами, например,
корни кубового полинома.

Спасибо...

[Kuzya]

Что с чем не сходится?

[RIP]

Кубический корень - многозначная функция, т.е., если формально, то $\sqrt[3]x$ - не число, а множество, вообще говоря (а именно, при $x\ne0$), из 3 элементов. Например,
$\sqrt[3]{-8}=\{-2;1\pm i\sqrt3\}$.
Поэтому правильнее говорить не о кубическом корне из числа $x$, а об одном из значений кубического корня из $x$.
Это если мы работаем с комплексными числами. Если же ограничиться только действительными числами, то:
1) Есть понятие арифметического кубического корня. Он определен только при $x\ge0$ и определяется как решение $a\ge0$ уравнения $a^3=x$.
2) Поскольку $3$ - нечетное число, то можно определить корень кубический из произвольного действительного числа $x$ как решение $a\in\mathbb{R}$ уравнения $a^3=x$.
Но пользоваться этими понятиями кубического корня можно, только если мы работаем исключительно в поле действительных чисел. Если в промежуточных выкладках мы используем комплексные числа, то использование этих понятий незаконно и может привести к противоречиям.

[sniffer]

Ок... Буду точнее, при выводе решений квадратного уравнения, получаем
квадратный корень, при каких либо кофецентов, всегда берём
первое значение корня.
При выводе решений кубического уравнения, получаем кубовые
корни, почему там берём второе значение корня, а не первое?
Ведь если кофеценты комплексные, тогда вообще может не
быть вещестевеного корня, так какой же брать?

[RIP]

sniffer писал(а):

Ок... Буду точнее, при выводе решений квадратного уравнения, получаем
квадратный корень, при каких либо кофецентов, всегда берём
первое значение корня.
При выводе решений кубического уравнения, получаем кубовые
корни, почему там берём второе значение корня, а не первое?
Ведь если кофеценты комплексные, тогда вообще может не
быть вещестевеного корня, так какой же брать?

Если коэффициенты комплексные (всё, что сказано ниже, относится и к вещественным коэффициентам), то пользоваться готовой формулой надо очень осторожно (и на самом деле, вообще не рекомендую ею пользоваться). Решение уравнения $x^3-px-q=0$ записывается в виде суммы двух кубических корней (внутри которых еще мелькают квадратные корни). Так вот, для одного из этих двух корней значения корней можно выбирать произвольно (это относится к внутреннему квадратному и к внешнему кубическому), но тогда значение другого кубического корня определено уже однозначно. Это легко видеть, если вспомнить, как получается эта формула. Решение ищется в виде $x=a+b$, $a,b$ находятся из системы

$$\left\{\begin{matrix}a^3+b^3=q,\\3ab=p.\end{matrix}\right.$$