Принцип Дирихле для задачи Пуассона

[Gortaur]

При решений задачи Пуассона через минимизацию энергии приходим к уравнению

$$ \int\limits_U \nabla u\cdot \nabla v - vf\,dx = 0 $$

для всех $v\in C^\infty_c(U)$. Последнее обозначение определяется как функции с компактным носителем, бесконечно раз дифференцируемые в $U$. После этого применяем формулу Грина и выходит

$$ 0 = \int\limits_U(-\Delta u-f)v\,dx+\int\limits_{\partial U}v\frac{\partial u}{\partial \nu}\,dS. $$

Далее применяется аргумент, что из произвольности $v$ следует, что $u$ решает задачу Пуассона $-\Delta u = f$. У автора отсутствует интеграл по границе. Т.к. обозначение $C^\infty_c(U)$ мне не совсем ясно - есть вопрос.

Можно догадаться, что $\supp v\subset U$ - тогда интеграл по границе равен нулю, но верно ли, что тогда $v$ достаточно произвольно для получения уравнения на $u$?

И здесь же: автор использует, что $\Delta_x f(x-y) = \Delta_y f(x-y)$. У меня есть путаница с этими аргументами-производными. Это равенство имеет место, т.к. произодные берутся вторые и там минус у игрека на плюс перейдет?

[Oleg Zubelevich]

$C_c^\infty(U)$ плотно в $H^1_0(U)$ при условии ,что область $U$ не очень дикая.

[Gortaur]

Oleg Zubelevich
Вы что имеете ввиду под $C^\infty_c(U)$ - те функции, у которых носитель не выходит за пределы?

[Oleg Zubelevich]

$C^\infty_c(U)=\{f\in C^\infty(U)\mid \mathrm{supp}\,f\subset U,\quad \mathrm{supp}\,f -- \mbox{компакт}\}$
для ограниченной области $U$ с гладкой границей справелдиво утверждение, которое я сформулировал выше.