При решений задачи Пуассона через минимизацию энергии приходим к уравнению

для всех

. Последнее обозначение определяется как функции с компактным носителем, бесконечно раз дифференцируемые в

. После этого применяем формулу Грина и выходит

Далее применяется аргумент, что из произвольности

следует, что

решает задачу Пуассона

. У автора отсутствует интеграл по границе. Т.к. обозначение

мне не совсем ясно - есть вопрос.
Можно догадаться, что

- тогда интеграл по границе равен нулю, но верно ли, что тогда

достаточно произвольно для получения уравнения на

?
И здесь же: автор использует, что

. У меня есть путаница с этими аргументами-производными. Это равенство имеет место, т.к. произодные берутся вторые и там минус у игрека на плюс перейдет?