Три решения для интеграла с "разными" ответами

[Kitozavr]

Я заметил что интеграл $\int \sin{x} \cos{x} dx$ можно взять тремя разными способами и получить три разных ответа.
Первый способ:

$$\int \sin{x} \cos{x} dx = \int \sin{x} \ d(\sin{x}) = \frac{ \sin ^2 x}{2} + C$$

Второй способ:

$$\int \sin{x} \cos{x} dx = -\int \cos{x}\ d( \sin{x}) = - \frac{\cos^2x}{2} + C$$

И третий:

$$\int \sin{x} \cos{x} dx = \frac{1}{2} \int \sin{2x}\ dx = -\frac{\cos{2x}}{4} +C$$

Оказалось, что все три выражения отличаются друг от друга на константу:

$$\frac{ \sin ^2 x}{2} = \frac{1- \cos ^2 x}{2} =\frac{1}{2} -\frac{ \cos ^2 x}{2}$$

$$-\frac{\cos{2x}}{4} = -\frac{1 - 2 \sin^2x}{4} = \frac{ \sin ^2 x}{2}-\frac{1}{4}$$

Красиво, правда?

[Kallikanzarid]

Да, красиво :)

[caxap]

Да, я тоже один раз так попался, только с другим интегралом. Решил: вроде всё верно, перепроверил много раз... а ответ другой. Потом дошло. Воспринимал до этого $+C$ как средство для пытки студентов, а, оказывается, воно оно как -- в реальной жизни проявляется...

[e2e4]

Здорово! Надо запомнить, чтобы не попасться в будущем.

[Sonic86]

caxap в сообщении #472618 писал(а):

Да, я тоже один раз так попался, только с другим интегралом. Решил: вроде всё верно, перепроверил много раз... а ответ другой. Потом дошло. Воспринимал до этого $+C$ как средство для пытки студентов, а, оказывается, воно оно как -- в реальной жизни проявляется...

Хорошо это помнить, когда интегралы содержат логарифмы - например $\ln \frac{x+1}{x-1}$ и $\ln \frac{2}{x-1}$ - одни и те же первообразные (могут быть примеры и посложнее).

[ewert]

caxap в сообщении #472618 писал(а):

Воспринимал до этого $+C$ как средство для пытки студентов, а, оказывается, воно оно как -- в реальной жизни проявляется...

Лучше воспринимайте это как дрессировку на будущее. Для интегрирования как такового это малосущественно (в конце концов, и при совпадении констант результаты, полученные разными способами, могут оказаться очень непохожими, поди ещё их согласуй). А вот потом, в дифференциальных уравнениях -- эти константы приобретут уже совершенно принципиальное значение. Так лучше уж загодя попытаться привыкнуть к их необходимости, пусть пока что и неочевидной.