Проанализируйте, пожалуйста, моё решение (арифметика)

[Xenia1996]

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что число $n$ представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа $n-1$ и $n+1$ — нет.

(Оффтоп)

Если я не ошиблась, любая степень двойки с нечётным натуральным показателем, не кратным 3, удовлетворяет условию задачи.
Действительно, сама такая степень, очевидно, представима требуемым образом.
Если отнять единичку, имеем число с остатком 7 при делении на 8 (случай с n=2 разбирается отдельно, но он очевиден), а следовательно, не может быть суммой двух квадратов (поскольку квадраты дают остатки 0, 1 и 4 при делении на 8).
Если же прибавить единичку, то по арифмосту на 9 (2, 4, 8, 7, 5, 1) имеем число, делящееся на 3, но не кратное 9. Такое число невозможно представить в виде суммы двух квадратов, ибо в таком случае каждое из слагаемых было бы кратно 3 (а значит и кратно 9, ведь квадрат же).

Решив по-своему, заглянула в решение авторов задачи:
http://problems.ru/view_problem_details ... ?id=107818
Там какой-то кровавый спорт, а мне не очень хотелось жанклодвандаммничать в тридцатипятиградусную жару

[Sonic86]

Ваше решение правильно. По ссылке 1-й способ - это Ваш способ, не несколько более общий и явный (достаточно вместо модуля 8 брать модуль 4).
Способ 2 в принципе использует те же идеи.

Интересно было бы найти все решения.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #472589 писал(а):

Ваше решение правильно. По ссылке 1-й способ - это Ваш способ, не несколько более общий и явный (достаточно вместо модуля 8 брать модуль 4).
Способ 2 в принципе использует те же идеи.

Интересно было бы найти все решения.

А Вас не смущает, что число 2 не совсем представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

[Руст]

Решение правильное и у вас и у них.
Можно сделать не что обобщающее ваше и их второе:
Если брать $a^n$ c нечетным n, то $a^n-1=(a-1)b, b=a^{n-1}+,,,,+1, a^n+1=(a+1)c, c=a^{n-1}-a^{n-2}+...$.
Причем $(a-1,b)=(a-1,n), (a+1,c)=(a+1,n)$. Исключая те n, для которых $gcd(a^2-1,n)>1$ и выбирая только те $a$ у которых и $a-1$ и $a+1$ имеет в разложение простое число вида $4k+3$ в нечетной степени, получаем серию решений по параметрам а и n. Например $a=13$ работает с любыми нечетными степенями не кратными ни 3 ни 7.

[Sonic86]

Xenia1996 в сообщении #472591 писал(а):

А Вас не смущает, что число 2 не совсем представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

То есть? $2=1^2+1^2$

[Xenia1996]

Руст в сообщении #472594 писал(а):

Решение правильное и у вас и у них.
Можно сделать не что обобщающее ваше и их второе:
Если брать $a^n$ c нечетным n, то $a^n-1=(a-1)b, b=a^{n-1}+,,,,+1, a^n+1=(a+1)c, c=a^{n-1}-a^{n-2}+...$.
Причем $(a-1,b)=(a-1,n), (a+1,c)=(a+1,n)$. Исключая те n, для которых $gcd(a^2-1,n)>1$ и выбирая только те $a$ у которых и $a-1$ и $a+1$ имеет в разложение простое число вида $4k+3$ в нечетной степени, получаем серию решений по параметрам а и n. Например $a=13$ работает с любыми нечетными степенями не кратными ни 3 ни 7.

Sonic86 в сообщении #472595 писал(а):

То есть? $2=1^2+1^2$

Вопрос в том, можно ли считать, что 1 и 1 (а также 4 и 4, 8 и 8, 32 и 32, ...) - это два натуральных числа.
Если нельзя, то моё решение ошибочно.

Тут вопрос больше языковой, чем математический. Можно ли сказать, что Ксюша и Ксюша - это две одинаковые девочки? Если нет, то почему можно сказать, что 1 и 1 - это два одинаковых числа?

[MrDindows]

Xenia1996 в сообщении #472596 писал(а):

Тут вопрос больше языковой, чем математический. Можно ли сказать, что Ксюша и Ксюша - это две одинаковые девочки? Если нет, то почему можно сказать, что 1 и 1 - это два одинаковых числа?

В условии говорится: " в виде суммы квадратов двух натуральных чисел". У вас сумма? Да. Квадраты? Да. Числа натуральные? Да. В чём проблема?)

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #472597 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #472596 писал(а):

Тут вопрос больше языковой, чем математический. Можно ли сказать, что Ксюша и Ксюша - это две одинаковые девочки? Если нет, то почему можно сказать, что 1 и 1 - это два одинаковых числа?

В условии говорится: " в виде суммы двух квадратов двух натуральных чисел". У вас сумма? Да. Квадраты? Да. Числа натуральные? Да. В чём проблема?)

В том, что этих чисел не совсем два. Скорее, одно и то же число два раза.

[Руст]

Sonic86 в сообщении #472589 писал(а):

Интересно было бы найти все решения.

Можно указать вид и общего решения. Берем любые два (разных) простых числа $p,q$ вида $3\mod 4$ (точнее даже их нечетные степени), и находим n из сравнения $n=1\mod p, n=-1\mod q$. Еще на $n$ накладываем ограничение, что оно в разложении на простые простые числа вида $4k+3$ содержит только в четной степени. Эта конструкция содержит все решения, Только не совсем явное.

[MrDindows]

Xenia1996 в сообщении #472598 писал(а):

В том, что этих чисел не совсем два. Скорее, одно и то же число два раза.

Если рядом поставить две одинаковые Ксюши, то это будет два человека, как не крути=)

[Gortaur]

MrDindows

(Оффтоп)

Не надо. Чем больше Ксюш, тем больше языковых вопросов.

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #472601 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #472598 писал(а):

В том, что этих чисел не совсем два. Скорее, одно и то же число два раза.

Если рядом поставить две одинаковые Ксюши, то это будет два человека, как не крути=)

Это потому, что Ксюша - объект физический, следовательно, имеет аттрибуты времени и пространства. Число же таковых лишено. Про число не скажешь, где оно находится и когда появилось.

[Sonic86]

Xenia1996 в сообщении #472596 писал(а):

Вопрос в том, можно ли считать, что 1 и 1 (а также 4 и 4, 8 и 8, 32 и 32, ...) - это два натуральных числа.
Если нельзя, то моё решение ошибочно.

Конечно для произвольных чисел не следует предполагать, что они различны (иначе они уже не совсем произвольны) (иначе ВТФ не имела бы решений даже в целых числах )

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #472596 писал(а):

Тут вопрос больше языковой, чем математический. Можно ли сказать, что Ксюша и Ксюша - это две одинаковые девочки? Если нет, то почему можно сказать, что 1 и 1 - это два одинаковых числа?

Можно разбираться с этим так: имя $X$ обозначает некоторый элемент класса объектов $K$, (возможно, что класс содержит лишь один объект). Тогда необходимо знать, $K$ содержит 1 элемент (и тогда $X$ назовем индивидуальным) или нет. Существуют индивидуальные объекты (напр., Москва). Тогда Москва и Москва обозначают один и тот же объект.
1 и 1 - это разные объекты. Просто они равны. Например, мы можем считать, что имеем дело со знаками. Если знаки имеет разные координаты, то они различны (как объекты, но не как обозначаемые ими предметы). Если же знаки обозначают один объект, то они равны, но просто не совпадают тождественно. Ну и ладно. Мысль крайне проста, не вздумайте не понять
Хотя в ZFC вообще таких проблем нету...

Xenia1996 писал(а):

Это потому, что Ксюша - объект физический, следовательно, имеет аттрибуты времени и пространства. Число же таковых лишено. Про число не скажешь, где оно находится и когда появилось.

Ну опять же, следует различать знак и обозначаемый им предмет. Знак имеет место и момент появления. А обозначаемый им предмет - необязательно. (если Вам все ясно, значит все-таки я не зря читал одну дурь довольно долгое время).
В любом случае, проблема примитивная и не стоит ломаного яйца и выеденного гроша.

[Евгений Машеров]

Да вроде всё правильно... И, кстати, не понял замечания. Уже $1^2+1^2 \neq 2$?

[Xenia1996]

Евгений Машеров в сообщении #472606 писал(а):

Да вроде всё правильно... И, кстати, не понял замечания. Уже $1^2+1^2 \neq 2$?

Равно.
Но 1 и 1 - не совсем два числа. Это одно число, взятое два раза.