Почему в комплексных числах положили

?
Ну вообще мнимую единицу вводили как число, решающее уравнение

, но если комплексные числа отождествлять с точками плоскости, то это можно довольно элегантно вывести.
Введём на плоскости ортонормированную систему координат. Тогда у каждой точки есть две координаты. Кординаты по оси

будем сичтать действительной частью комплексного числа, а по оси

- мнимой. Таким образом точке с координатами

соответсвует число

.
Осталось определить операции так, чтобы они удлетворяли аксиомам поля. Тогда нулем считаем число

, и слодение определяем как

. Не трудно проверить, что все аксиомы для сложения выполняются.
Для определения умножения заметим, что у мнимое число можно охарактеризовать ещё двумя числами: модулем, имеющем смысл расстояния от точки комплексной плоскости до нуля, и рагументом - углом наклона отрезка, соединяющего точку с нулём, к оси x. Не трудно проверить, что модуль

, тогда

. Тогда не трудно проверить, что при умножении комплексных числе их модулди перемножаются, а аргументы складываются. Если

и зачит при умножении на само себя

, то есть

.