Комплексные числа.

[ДДмитрий]

Есть вопрос, на который, наверняка, есть ответ у тех, что немного учил алгебру (мне не довелось ). Почему в комплексных числах положили $i^2=-1$? Точнее, рассмотрим линейное множество $\mathbb R^2$ (элементы записываем в виде $a+bi$, $a,b\in \mathbb R$), где умножение порождено, например, равенством $i^2=-2$, ну или, например, равенством $i^2=1+3i$. Что будет плохого в таком пространстве?

Под порожденным умножением, я понимаю умножение элементов вида $a+bi$ как многочленов относительно $i$, где $i^2$ меняется на $-2$ или соответственно на $1+3i$. Умножение действительных чисел стандартное.

В случае, когда $i^2= -2$, вроде бы получается числовое поле. Но как оно связано с $\mathbb C$?
Подскажите, кто знает, а то самому лень думать .

[Someone]

Это то же самое $\mathbb C$, только в менее удобном базисе.

[ДДмитрий]

В случае $i^2=-2$ биекция такая: $a+bi \leftrightarrow a+\frac{b}{\sqrt{2}}i$. А в случае, когда $i^2 = 1 + 3i$? Как ее найти по умному?

[alcoholist]

ДДмитрий в сообщении #472299 писал(а):

Как ее найти по умному?

Рассмотрим двумерную алгебру с единицей над $\mathbb{R}$. Ясно, что структура алгебры с точностью до изоморфизма задается квадратом произвольного элемента $\xi$, неколлинеарного единице: $\xi^2=a1+b\xi$ (далее единицу не пишем). Ясно, что в случае $a=0$ имеем просто прямое произведение алгебр. Далее считаем, что $a\ne 0$.

Подберите числа $x$ и $y$ так, чтобы $(x+y\xi)^2=\pm 1$ -- случай, когда знак минус Ваш.

[VasiaS]

хмм, никогда не видел, что бы $i^2=-2$ , но если уж так рассуждать, то пусть если z=$a+bi$ , то подставляем вместо i что угодно. потом очевидно если $i^2 = 1 + 3i$ , то там будет корень, соответственно рисуем компл плоскость, находим модуль и аргумент этого коння, добавляем постоянную действительную "а" и записывает ответ так: а+ро*cos(арг)+i*ро*sin(арг)

[EvilPhysicist]

ДДмитрий в сообщении #472295 писал(а):

Почему в комплексных числах положили $i^2=-1$?

Ну вообще мнимую единицу вводили как число, решающее уравнение $ x^2 +1=0$, но если комплексные числа отождествлять с точками плоскости, то это можно довольно элегантно вывести.

Введём на плоскости ортонормированную систему координат. Тогда у каждой точки есть две координаты. Кординаты по оси $X$ будем сичтать действительной частью комплексного числа, а по оси $Y$ - мнимой. Таким образом точке с координатами $(x,y) $ соответсвует число $z=x+iy $.
Осталось определить операции так, чтобы они удлетворяли аксиомам поля. Тогда нулем считаем число $ z=0 $, и слодение определяем как $ z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1+ y_2) $. Не трудно проверить, что все аксиомы для сложения выполняются.
Для определения умножения заметим, что у мнимое число можно охарактеризовать ещё двумя числами: модулем, имеющем смысл расстояния от точки комплексной плоскости до нуля, и рагументом - углом наклона отрезка, соединяющего точку с нулём, к оси x. Не трудно проверить, что модуль $ \lvert z \rvert = \sqrt{x^2 + y^2} $, тогда $ z= x+ iy = \lvert z \rvert ( \cos \phi + i \sin \phi) $. Тогда не трудно проверить, что при умножении комплексных числе их модулди перемножаются, а аргументы складываются. Если $z=1 \Rightarrow \lvert z \rvert =1, \quad \phi = \cfrac{\pi}{2}$ и зачит при умножении на само себя $ \lvert i^2 \rvert = \lvert i \rvert^2 = 1, \quad \operatorname{Arg}(i^2)= 2 \cfrac{\pi}{2}= \Pi $, то есть $ i^2= 1(\cos{-\pi} + i \sin {-\pi}) = -1 $.

[alcoholist]

VasiaS в сообщении #472343 писал(а):

потом очевидно если $i^2 = 1 + 3i$ , то там будет корень

ничего не получится))) Корни вещественны -- перечитайте мой предыдущий пост

[Sonic86]

(VasiaS)

http://dxdy.ru/topic183.html

[Joker_vD]

ДДмитрий в сообщении #472295 писал(а):

Есть вопрос, на который, наверняка, есть ответ у тех, что немного учил алгебру (мне не довелось ). Почему в комплексных числах положили $i^2=-1$? Точнее, рассмотрим линейное множество $\mathbb R^2$ (элементы записываем в виде $a+bi$, $a,b\in \mathbb R$), где умножение порождено, например, равенством $i^2=-2$, ну или, например, равенством $i^2=1+3i$. Что будет плохого в таком пространстве?

Под порожденным умножением, я понимаю умножение элементов вида $a+bi$ как многочленов относительно $i$, где $i^2$ меняется на $-2$ или соответственно на $1+3i$. Умножение действительных чисел стандартное.

В случае, когда $i^2= -2$, вроде бы получается числовое поле. Но как оно связано с $\mathbb C$?
Подскажите, кто знает, а то самому лень думать .

Получается числовое поле $\mathbb R[x]/(x^2+2) \simeq \mathbb C$, где изморфизм задается с помощью $a\overline x + b \mapsto a\sqrt2i + b$.

В случае $i^2 = 1+3i$ имеем $\mathbb R[x]/(x^2-3x-1) \simeq \mathbb R \times \mathbb R \not\simeq \mathbb C$, которое и не поле, и даже не область целостности.

Впрочем, 100%-ной гарантии не дам — сложновато в четыре утра пользоваться китайской теоремой об остатках...

[alcoholist]

Joker_vD в сообщении #472509 писал(а):

Впрочем, 100%-ной гарантии не дам — сложновато в четыре утра пользоваться китайской теоремой об остатках...

ну, делители нуля-то есть