Плоская метрика на гомологической сфере Пуанкаре

[Bulinator]

Kallikanzarid в сообщении #471303 писал(а):

А на трехмерной сфере нельзя задать плоскую метрику? А я думал, что возможность задать плоскую метрику следует из параллелизуемости

Kallikanzarid, как Вы связываете параллелизуемость с возможностью задать плоскую метрику?
Я правильно понимаю, что параллелизуемость означает, что задано векторное поле $\xi:S^3\to TS^3$ которое нигде не обращается в нуль? Для сохранения метрического тензора вдоль вектора $\xi$ нужно, чтобы этот вектор был вектором Киллинга:$\xi_{i;j}+\xi_{j;i}=0$. Вы уверены, что вот это векторное поле параллелизующее трехмерную сферу параллельно можно сделать еще и киллинговым?

[мат-ламер]

Kallikanzarid У меня создалось чёткое мнение, что как на $S^2$, так и на $S^3$ можно ввести плоскую метрику. Ввиду некомпетентности Вашу аргументацию о влиянии универсального накрытия на риманову метрику не понял. Может дадите ссылку на конкретную теорему? Рассмотрим случай $S^2$. Возьмём поверхность куба. Она гомеоморфна $S^2$. Плоская метрика на поверхности куба вводится очевидно. Если Вы думаете, что будут проблемы с угловыми точками, то можно развёртку поверхности куба положить на плоскость, и видно, что в любом треугольнике сумма углов будет 180 градусов. Пока писал, заметил нюанс. Из любой точки куба, кроме угловой, можно провести четыре луча, каждый из которых либо перпендукулярен другому, либо направлен противоположно. Из угловой точки можно провести только три таких луча. Что как бы намекает, что не все точки будут равноправны. Может ерунду написал.

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #471841 писал(а):

Kallikanzarid У меня создалось чёткое мнение, что как на $S^2$, так и на $S^3$ можно ввести плоскую метрику.

Ну как так то? Как так то? Ох, как тут paha не хватает. Он бы вам всем показал :))))

[Munin]

Kallikanzarid в сообщении #471719 писал(а):

Да ну, Бессе описывал гораздо большее разнообразие эйнштейновых многообразий.

Я не ставил перед собой задачи перечислить всех вариантов. Ограничился самыми элементарными, подстраиваясь под вопрос. Понятное дело, что даже постоянная кривизна описывает пространство лишь локально, и мы можем нарезать из такого пространства разные лоскуты и почти как угодно их посклеивать.

Gortaur в сообщении #471825 писал(а):

А насчет различия/постоянства кривизны в наблюдаемой части вселенной есть какие сведения?

Флуктуации кривизны наблюдают с помощью эффектов гравитационного линзирования. Для максимальных масштабов эти флуктуации совпадают (с низкой точностью, но что имеем) с распределением видимого вещества. На масштабах скоплений галактик встречаются расхождения (знаменитый Bullet cluster), которые интерпретируются как расхождения положения в пространстве обычной и тёмной материи, обусловленные предысторией системы (столкновение скоплений галактик). Вообще, все эти флуктуации кривизны настолько малы, что прекрасно описываются ньютоновской теорией тяготения, и отдельного интереса не представляют.

мат-ламер в сообщении #471841 писал(а):

Рассмотрим случай $S^2$. Возьмём поверхность куба. Она гомеоморфна $S^2$. Плоская метрика на поверхности куба вводится очевидно. Если Вы думаете, что будут проблемы с угловыми точками, то можно развёртку поверхности куба положить на плоскость, и видно, что в любом треугольнике сумма углов будет 180 градусов.

Кроме треугольников, охватывающих вершины. В них всегда будет 270 градусов.

[Kallikanzarid]

мат-ламер в сообщении #471841 писал(а):

Ввиду некомпетентности Вашу аргументацию о влиянии универсального накрытия на риманову метрику не понял.

Я сам это лишь в Википедии прочитал, надо будет разобраться с этим вопросом :)

[epros]

Что ж этот простой вопрос вызвал такую длинную дискуссию?

Плоскую метрику на двумерии, гомеоморфном сфере, можно ввести только если исключить хотя бы одну точку. Продолжить её на эту последнюю точку уже будет нельзя. Это очевидно из следующих рассуждений: Допустим, мы ввели плоскую метрику везде, кроме северного полюса (как это сделать - можно легко продемонстрировать). Сумма углов любого треугольника, не охватывающего северный полюс, будет равна 180 град. Но этот же треугольник, вывернув его "наизнанку", можно рассматривать как треугольник, охватывающий северный полюс. Вот только сумма его углов будет равна 900 град., как ни крути.

[alcoholist]

Bulinator в сообщении #471840 писал(а):

параллелизуемость означает, что задано векторное поле $\xi:S^3\to TS^3$ которое нигде не обращается в нуль?

Не один вектор, а базис

мат-ламер в сообщении #471841 писал(а):

Kallikanzarid У меня создалось чёткое мнение, что как на $S^2$, так и на $S^3$ можно ввести плоскую метрику.

На $S^2$ нельзя, например, по теореме Гаусса-Бонне.

А вообще, имеет место Теорема Картана-Адамара: полное односвязное риманово многообразие неположительной (тем более нулевой!) секционной кривизны диффеоморфно $\mathbb{R}^n$.

Фактически это означает, что для любой точки $x_0\inM$ ($M$ -- полное многообразие неположительной секционной кривизны) экспоненциальное отображение ${\rm exp}_{x_0}:T_{x_0}M\to M$ является накрытием.

Отсюда, кстати, следует, что не бывает компактных многообразий неположительной кривизны с конечной (в частности -- тривиальной) фундаментальной группой.

-- Пт июл 29, 2011 09:54:35 --

Munin в сообщении #471852 писал(а):

Я не ставил перед собой задачи перечислить всех вариантов. Ограничился самыми элементарными, подстраиваясь под вопрос. Понятное дело, что даже постоянная кривизна описывает пространство лишь локально, и мы можем нарезать из такого пространства разные лоскуты и почти как угодно их посклеивать.

Ну, "почти как угодно" не получится: все плоские (с нулевой кривизной) компактные многообразия без края перечисляются теоремой Бибербаха

[Munin]

alcoholist в сообщении #471934 писал(а):

Ну, "почти как угодно" не получится: все плоские (с нулевой кривизной) компактные многообразия без края перечисляются теоремой Бибербаха

Я не уверен, что все... и даже так, всё равно вариантов намного больше. Хотя и не бесконечно много.

[alcoholist]

Munin в сообщении #471950 писал(а):

Я не уверен, что все

С точностью до изометрии -- все (конечное число в каждой размерности). См., например, книжку Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны, М., 1982.

[Munin]

Спасибо.

[bayak]

alcoholist в сообщении #471934 писал(а):

мат-ламер в сообщении #471841 писал(а):

Kallikanzarid У меня создалось чёткое мнение, что как на $S^2$, так и на $S^3$ можно ввести плоскую метрику.

На $S^2$ нельзя, например, по теореме Гаусса-Бонне.

А если наоборот, на плоскости ввести всюду положительную метрику. Что этому будет мешать?

[bayak]

Если в полярных координатах плоскости $\varphi$, $\rho$ сделать одну замену
$\vartheta=\arctg \rho$, то метрика
$ds^{2}=\sin^{2}\vartheta d\varphi^{2}+d\vartheta^{2}$ будет как на единичной сфере. Разве не так?

[мат-ламер]

bayak в сообщении #472136 писал(а):

alcoholist в сообщении #471934 писал(а):

мат-ламер в сообщении #471841 писал(а):

Kallikanzarid У меня создалось чёткое мнение, что как на $S^2$, так и на $S^3$ можно ввести плоскую метрику.

На $S^2$ нельзя, например, по теореме Гаусса-Бонне.

А если наоборот, на плоскости ввести всюду положительную метрику. Что этому будет мешать?

Получите парабалоид. (Метрику надо только вводить аккуратно).

-- Сб июл 30, 2011 14:54:21 --

bayak в сообщении #472149 писал(а):

Если в полярных координатах плоскости $\varphi$, $\rho$ сделать одну замену
$\vartheta=\arctg \rho$, то метрика
$ds^{2}=\sin^{2}\vartheta d\varphi^{2}+d\vartheta^{2}$ будет как на единичной сфере. Разве не так?

Плоскость не может быть гомеоморфна сфере (только сфере с выколотой точкой). Либо плоскость дополнить безконечно удалённой точкой.

[bayak]

мат-ламер в сообщении #472175 писал(а):

Получите парабалоид.

Предполагается, что плоскость мы не деформируем, а просто ручками вводим на ней экзотическую метрику.

-- Сб июл 30, 2011 14:58:09 --

мат-ламер в сообщении #472175 писал(а):

Плоскость не может быть гомеоморфна сфере (только сфере с выколотой точкой). Либо плоскость дополнить безконечно удалённой точкой.

Плоскость мы не трогаем, а издеваемся над её метрикой.

[Munin]

bayak в сообщении #472180 писал(а):

Предполагается, что плоскость мы не деформируем, а просто ручками вводим на ней экзотическую метрику.

Вот её ввести и не получится. Вы дойдёте до точек, где придётся нарушить аксиомы метрики. Или вводите не всюду постоянную кривизну, тогда можно, например, ввести метрику, такую же, как при деформации плоскости в эллиптический параболоид.

bayak в сообщении #472180 писал(а):

Плоскость мы не трогаем, а издеваемся над её метрикой.

Это абсолютно то же самое, что и трогать плоскость (в пространстве достаточно большой размерности, 3 может не хватить).