Оптимизация

[Allexiel]

Помогите решить задачу:
$f(x)=x^2+(y-4)^2{\to}\min$
$x^2+y^2\leqslant4$
$4x^2+y^2\geqslant4$

[ewert]

Ваша область -- это две лунки между окружностью и эллипсом. Ищите условные экстремумы (точнее, подозрительные на экстремум) на окружности, на эллипсе, добавьте к ним обе точка касания -- и выбирайте из них оптимальную.

[Allexiel]

составила функцию Лагранжа, взяла первую производную по х и по у
а дальше не знаю что делать...(((( Плохо учиться заочно

[ewert]

Allexiel в сообщении #468656 писал(а):

взяла первую производную по х и по у

Ещё и по лямбде возьмите. Приравняйте к нулю и решайте полученную систему три на три.

[Allexiel]

Насколько поняла первая частная производная это необходимое условие локального минимума - условие стационарности, а как найти условие дополняющей жесткости?

[ewert]

Allexiel в сообщении #468664 писал(а):

, а как найти условие дополняющей жесткости?

Ничего не нужно искать дополнительно. Функция в ограниченной области может достигать минимума только в перечисленных точках, и их надо просто перебрать.

[Евгений Машеров]

Нну... В общем случае ещё может быть внутри лунок. Чего здесь, правда, нет.
Так что я бы начал бы с поиска безусловного минимума. Проверил бы, не удовлетворяет ли он условиям. Нет? Тогда вводить условия, как равенства. И Лагранжем их.
А потом перебрать все, удовлетворяющие условиям.

[Nimza]

Allexiel в сообщении #468664 писал(а):

а как найти условие дополняющей жесткости?

Так как у Вас ограничения типа неравенств, то множители Лагранжа, отвечающие ограничениям, неотрицательны. Условия дополняющей нежёсткости означают, что если ограничение выполняется как строгое неравенство, то соответствующий множитель Лагранжа обращается в нуль.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #468716 писал(а):

А потом перебрать все, удовлетворяющие условиям.

Плюс вершины, если они есть. Тут смотреть в них, правда, не обязательно, но проще перестраховаться, почему я о них и сказал.

[Allexiel]

вопрос еще такой второе неравенство нужно преобразовать в $ 4-4x^2-y^2\leqslant0 $

-- 28.07.2011, 18:28 --

я про знак имею ввиду с "больше либо равно" на "меньше либо равно"

[мат-ламер]

Allexiel в сообщении #471769 писал(а):

вопрос еще такой второе неравенство нужно преобразовать в $ 4-4x^2-y^2\leqslant0 $

-- 28.07.2011, 18:28 --

я про знак имею ввиду с "больше либо равно" на "меньше либо равно"

Наверное, всё-же просят через условие дополняющей нежёсткости?

[vvvv]

Геометрическая иллюстрация задачи (изображена нижняя часть в районе минимума)

[arqady]

Allexiel в сообщении #468644 писал(а):

Помогите решить задачу:
$f(x)=x^2+(y-4)^2{\to}\min$
$x^2+y^2\leqslant4$
$4x^2+y^2\geqslant4$

Не надо здесь Лагранжа.
До точки $(0,2)$ догадаться не трудно. Дальше автоматически пишется:
$x^2+(y-4)^2-4=2(y-2)^2+\frac{5}{3}(4-x^2-y^2)+\frac{2}{3}(4x^2+y^2-4)\geq0$

[Allexiel]

преподаватель сказал что методом Лагранжа

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Однако, полгода прошло.

Любопытный момент возникает. В оптимальной точке градиенты ограничений линейно зависимы, и множители Лагранжа определяются неоднозначно. Так что определить оптимальную точку с помощью методов множителей Лагранжа представляется сомнительным. (Я могу ошибаться. Проверьте). Однако, если оптимальная точка найдена, то доказать её оптимальность можно с помощью теоремы Куна-Таккера (как уже предлагалось) . Неоднозначность множителей Лагранжа там на суть дела не влияет. Найти оптимальную точку можно, если вникнуть в геометрический смысл задачи.