2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 13:56 
Аватара пользователя
Помогите решить задачу:
$f(x)=x^2+(y-4)^2{\to}\min$
$x^2+y^2\leqslant4$
$4x^2+y^2\geqslant4$

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 14:07 
Ваша область -- это две лунки между окружностью и эллипсом. Ищите условные экстремумы (точнее, подозрительные на экстремум) на окружности, на эллипсе, добавьте к ним обе точка касания -- и выбирайте из них оптимальную.

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 14:09 
Аватара пользователя
составила функцию Лагранжа, взяла первую производную по х и по у
а дальше не знаю что делать...(((( Плохо учиться заочно

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 14:16 
Allexiel в сообщении #468656 писал(а):
взяла первую производную по х и по у

Ещё и по лямбде возьмите. Приравняйте к нулю и решайте полученную систему три на три.

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 14:20 
Аватара пользователя
Насколько поняла первая частная производная это необходимое условие локального минимума - условие стационарности, а как найти условие дополняющей жесткости?

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 14:32 
Allexiel в сообщении #468664 писал(а):
, а как найти условие дополняющей жесткости?

Ничего не нужно искать дополнительно. Функция в ограниченной области может достигать минимума только в перечисленных точках, и их надо просто перебрать.

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 16:54 
Аватара пользователя
Нну... В общем случае ещё может быть внутри лунок. Чего здесь, правда, нет.
Так что я бы начал бы с поиска безусловного минимума. Проверил бы, не удовлетворяет ли он условиям. Нет? Тогда вводить условия, как равенства. И Лагранжем их.
А потом перебрать все, удовлетворяющие условиям.

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 17:17 
Allexiel в сообщении #468664 писал(а):
а как найти условие дополняющей жесткости?

Так как у Вас ограничения типа неравенств, то множители Лагранжа, отвечающие ограничениям, неотрицательны. Условия дополняющей нежёсткости означают, что если ограничение выполняется как строгое неравенство, то соответствующий множитель Лагранжа обращается в нуль.

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение15.07.2011, 17:24 
Евгений Машеров в сообщении #468716 писал(а):
А потом перебрать все, удовлетворяющие условиям.

Плюс вершины, если они есть. Тут смотреть в них, правда, не обязательно, но проще перестраховаться, почему я о них и сказал.

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение28.07.2011, 17:23 
Аватара пользователя
вопрос еще такой второе неравенство нужно преобразовать в $ 4-4x^2-y^2\leqslant0 $

-- 28.07.2011, 18:28 --

я про знак имею ввиду с "больше либо равно" на "меньше либо равно"

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение28.07.2011, 21:15 
Аватара пользователя
Allexiel в сообщении #471769 писал(а):
вопрос еще такой второе неравенство нужно преобразовать в $ 4-4x^2-y^2\leqslant0 $

-- 28.07.2011, 18:28 --

я про знак имею ввиду с "больше либо равно" на "меньше либо равно"

Наверное, всё-же просят через условие дополняющей нежёсткости?

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение28.07.2011, 22:39 
Геометрическая иллюстрация задачи (изображена нижняя часть в районе минимума)
Изображение

 
 
 
 
Сообщение29.07.2011, 16:14 
Allexiel в сообщении #468644 писал(а):
Помогите решить задачу:
$f(x)=x^2+(y-4)^2{\to}\min$
$x^2+y^2\leqslant4$
$4x^2+y^2\geqslant4$

Не надо здесь Лагранжа.
До точки $(0,2)$ догадаться не трудно. Дальше автоматически пишется:
$x^2+(y-4)^2-4=2(y-2)^2+\frac{5}{3}(4-x^2-y^2)+\frac{2}{3}(4x^2+y^2-4)\geq0$

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение22.01.2012, 15:48 
Аватара пользователя
преподаватель сказал что методом Лагранжа

 
 
 
 Re: Оптимизация
Сообщение22.01.2012, 17:51 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Однако, полгода прошло.
Любопытный момент возникает. В оптимальной точке градиенты ограничений линейно зависимы, и множители Лагранжа определяются неоднозначно. Так что определить оптимальную точку с помощью методов множителей Лагранжа представляется сомнительным. (Я могу ошибаться. Проверьте). Однако, если оптимальная точка найдена, то доказать её оптимальность можно с помощью теоремы Куна-Таккера (как уже предлагалось) . Неоднозначность множителей Лагранжа там на суть дела не влияет. Найти оптимальную точку можно, если вникнуть в геометрический смысл задачи.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group