Плоская метрика на гомологической сфере Пуанкаре

[Kallikanzarid]

Можно ли задать плоскую метрику на гомологической сфере Пуанкаре? На первый взгляд можно: берем замкнутый диск с индуцированной метрикой. Далее на его крае вводим клеточное разбиение, соответствующее центральной проекции додекаэдра. Теперь мы склеиваем противоположные грани после поворота (т.е. отождествляем их точки по изометрии объемлющего пространства $\mathbb{R}^3$). Значит, таким образом должна индуцироваться метрика на сфере Пуанкаре.

Меня в этом аргументе смущает то, что при склейке у нас точки края становятся внутренними точками, то есть мы должны определить метрику и в них. А как это сделать? Доопределить по непрерывности и показать гладкость напрямую?

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #466518 писал(а):

Можно ли задать плоскую метрику на гомологической сфере Пуанкаре? На первый взгляд можно: берем замкнутый диск с индуцированной метрикой. Далее на его крае вводим клеточное разбиение, соответствующее центральной проекции додекаэдра. Теперь мы склеиваем противоположные грани после поворота (т.е. отождествляем их точки по изометрии объемлющего пространства $\mathbb{R}^3$). Значит, таким образом должна индуцироваться метрика на сфере Пуанкаре.

Конечно, нельзя плоскую метрику задать: любая метрика поднимается на универсальное накрывающее, а в данном случае это -- трехмерная сфера.

Посчитайте полную кривизну в точке, пришедшей с поверхности шара.

[Munin]

Я так понимаю, не меняя топологии, можно кривизну "сгрести" в одно место из другого, в предельном случае - в отдельные точки, линии и поверхности, где кривизна будет обращаться в бесконечность (иметь вид дельта-функции). Например, выпуклый многогранник можно рассматривать как сферу, в которой кривизна "собрана" в вершинах (на рёбрах нуль, поскольку сгиб ребра разворачивается на плоскость). Таким образом, можно взять плоский кусок $R^n,$ задать склейку его рёбер и граней, чтобы получилось многообразие, и при этом получится неплоское многообразие: кривизна будет "собрана" в вершинах и рёбрах, по которым проводилась склейка. Доопределить кривизну непрерывно в вершинах и рёбрах при этом невозможно, поскольку способ склейки однозначно задаёт какие-то интегралы от кривизны по окрестностям вершин и рёбер, аналогично тому, как интеграл от дельта-функции по окрестности нуля - единица.

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #471277 писал(а):

Конечно, нельзя плоскую метрику задать: любая метрика поднимается на универсальное накрывающее, а в данном случае это -- трехмерная сфера.

А на трехмерной сфере нельзя задать плоскую метрику? А я думал, что возможность задать плоскую метрику следует из параллелизуемости

[Munin]

Kallikanzarid в сообщении #471303 писал(а):

А на трехмерной сфере нельзя задать плоскую метрику?

Можно, кроме множества меры нуль :-)

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #471329 писал(а):

Можно, кроме множества меры нуль

Но она же параллелизуема! Выбираем метрику на одном слое и переносим на остальные, пользуясь выбранным изоморфизмом $T(S^3) \cong S^3 \times \mathbb{R}^3$. Неужели у меня глюки, и она может получиться при этом неплоской?

-- Вт июл 26, 2011 20:56:18 --

Хотя у нас вроде есть неплоские левоинвариантные метрики на группах Ли... Значит, у меня глюки

-- Вт июл 26, 2011 20:57:28 --

Тогда непонятно: чем в таком случае определяется кривизна - исключительно топологическими свойствами многообразия?

[Утундрий]

Kallikanzarid в сообщении #471337 писал(а):

Тогда непонятно: чем в таком случае определяется кривизна - исключительно топологическими свойствами многообразия?

Топология тут как не пришей собаке хвост. Кривизна - локальное понятие (в разумных пределах).

[Kallikanzarid]

Утундрий в сообщении #471384 писал(а):

Кривизна - локальное понятие (в разумных пределах).

Тогда, по-вашему, почему я могу определить плоскую метрику на $\mathbb{R}^3$, но не могу определить ее на $S^3$?

[мат-ламер]

Kallikanzarid. Я в этом вообще ничего не понимаю, но не связана ли возможность ввести плоскую метрику с возможностью гладко причесать многообразие? Сферу $S^2$ причесать нельзя, а сферу $S^3$ вроде можно. Но это так - ничем не обоснованная гипотеза. Не принимайте близко.

[Munin]

Kallikanzarid в сообщении #471337 писал(а):

Тогда непонятно: чем в таком случае определяется кривизна - исключительно топологическими свойствами многообразия?

Интеграл от кривизны связан с топологическими свойствами многообразия, но вот точной формулировки я не знаю. Для двух измерений интеграл от кривизны однозначно задаётся числом Эйлера.

мат-ламер в сообщении #471408 писал(а):

Kallikanzarid. Я в этом вообще ничего не понимаю, но не связана ли возможность ввести плоскую метрику с возможностью гладко причесать многообразие?

Думаю, здесь немного другая характеристика, не "причесать", а "разгладить". "Причёсывание" связано с векторными полями, а кривизна - тензорное поле.

[Kallikanzarid]

мат-ламер в сообщении #471408 писал(а):

Kallikanzarid. Я в этом вообще ничего не понимаю, но не связана ли возможность ввести плоскую метрику с возможностью гладко причесать многообразие? Сферу $S^2$ причесать нельзя, а сферу $S^3$ вроде можно. Но это так - ничем не обоснованная гипотеза. Не принимайте близко.

Я вот тоже так думал, а вот как оно оказалось :) Любая группа Ли параллелизуема (например, на $S^3$ можно ввести структуру $SU(2)$), но у плоского риманова многообразия универсальным накрытием будет $\mathbb{R}^n$, но $\mathbb{R}^n$ не накрывает $S^3$, ЕМНИП, по гомологическим причинам.

[мат-ламер]

А в каком мире мы живём? Разве наша Вселенная не $S^3$ с плоской метрикой?

[Munin]

:-) Либо с плоской метрикой - тогда $R^3$ или что-то в этом духе - либо $S^3,$ но тогда с заведомо не плоской метрикой. Впрочем, так как радиус кривизны может быть очень большой, отличие метрики от плоской может быть трудно заметить. Текущие измерения дают $\Omega_{\mathrm{Total}}=1{,}01\pm 0{,}02,$ где при $\Omega>1$ кривизна положительная, при $\Omega=1$ кривизна нулевая (метрика плоская), при $\Omega<1$ кривизна отрицательная. Если при этом добавить гипотезу, что Вселенная везде, включая принципиально ненаблюдаемые области, имеет ту же кривизну, что и в наблюдаемой части, то соответственно, получаются сфера, евклидово пространство и пространство Лобачевского. Но сегодня такую гипотезу уже не принято добавлять - космология имеет намёки, что в ненаблюдаемых областях Вселенная достаточно различна, чтобы сделать топологию полной Вселенной какой угодно неизвестной.

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #471689 писал(а):

Если при этом добавить гипотезу, что Вселенная везде, включая принципиально ненаблюдаемые области, имеет ту же кривизну, что и в наблюдаемой части, то соответственно, получаются сфера, евклидово пространство и пространство Лобачевского.

Да ну, Бессе описывал гораздо большее разнообразие эйнштейновых многообразий.

[Gortaur]

Munin
А насчет различия/постоянства кривизны в наблюдаемой части вселенной есть какие сведения?