Константа в теореме Мертенса

[Sonic86]

Как известно

$$\prod\limits_{p \leqslant x}\left( 1- \frac{1}{p} \right) \sim \frac{e^{- \gamma}}{\ln x},$$

где $\gamma$ - постоянная Эйлера.
Как доказать, что в этой формуле константа равна именно $e^{- \gamma}$? Я по книжкам пробежался и нашел только у Прахара вывод через комплексное интегрирование (что просто чудовищно). Есть ли простой способ?

[Руст]

Посмотрите книгу Ингам а №Распределение простых чисел" стр. 33.

[Sonic86]

Руст в сообщении #471582 писал(а):

Посмотрите книгу Ингам а №Распределение простых чисел" стр. 33.

Спасибо! Нашел.

[alex1910]

Sonic86 в сообщении #471596 писал(а):

Руст в сообщении #471582 писал(а):

Посмотрите книгу Ингам а №Распределение простых чисел" стр. 33.

Спасибо! Нашел.

Не помню, что написано в указанной книжке.

А так - прологарифмируем произведение, приблизим первым порядком по тейлору - получим минус сумму чисел обратных к простым (<=x), которая эквивалентна gamma + ln(ln(x)). Потенцируем - получим искомое.

Полагаю, в книжке будет, по сути, то же самое, но доведенное до ума (чтобы это стало строгим доказательством).

[Sonic86]

alex1910 в сообщении #471726 писал(а):

А так - прологарифмируем произведение, приблизим первым порядком по тейлору - получим минус сумму чисел обратных к простым (<=x), которая эквивалентна gamma + ln(ln(x)). Потенцируем - получим искомое.

В том то и дело, что не совсем так: $\sum\limits_{p \leqslant x}\frac{1}{p} = \ln \ln x + B + O(\frac{\ln ^2 \ln x}{\ln x})$, где $B$ - константа Мертенса, отличная от постоянной Эйлера. В выводе постоянные $B$ сокращаются.
http://mathworld.wolfram.com/MertensConstant.html

[alex1910]

Sonic86 в сообщении #471747 писал(а):

alex1910 в сообщении #471726 писал(а):

А так - прологарифмируем произведение, приблизим первым порядком по тейлору - получим минус сумму чисел обратных к простым (<=x), которая эквивалентна gamma + ln(ln(x)). Потенцируем - получим искомое.

В том то и дело, что не совсем так: $\sum\limits_{p \leqslant x}\frac{1}{p} = \ln \ln x + B + O(\frac{\ln ^2 \ln x}{\ln x})$, где $B$ - константа Мертенса, отличная от постоянной Эйлера. В выводе постоянные $B$ сокращаются.
http://mathworld.wolfram.com/MertensConstant.html

Так сумма не совсем 1/p - первые несколько членов вносят существенную поправку. Так что кое-какую техническую работу проделать придется, по-любому.

А зачем Вам это? По-моему, все вопросы с распределением простых закрыл еще Риман 150 лет тому назад, все доработки - мелкая косметика.

[Sonic86]

alex1910 в сообщении #471778 писал(а):

Так сумма не совсем 1/p - первые несколько членов вносят существенную поправку. Так что кое-какую техническую работу проделать придется, по-любому.

Попробуйте сами это сделать, не заглядывая в книжку Ингама. Вдруг у Вас еще проще выйдет.

alex1910 в сообщении #471778 писал(а):

А зачем Вам это?

У меня аналогичное произведение вылезло, только посложнее.

alex1910 в сообщении #471778 писал(а):

По-моему, все вопросы с распределением простых закрыл еще Риман 150 лет тому назад, все доработки - мелкая косметика.

Да ну?! Особенно гипотезу Римана. А доказательство гипотезы Буняковского у Вас случайно нету?! Простые специального вида - вообще одна сплошная проблема.

[alex1910]

Не буду - меня аналитическая теория чисел никак не интересует.


Гипотеза Римана, скорее всего, верна. Скорее всего, ее докажут в ближайшее время тупым аналитическим методом. Когда появится концептуальное доказательство - большой вопрос, думаю, не скоро.

Проблемы с простыми специального вида - отдельная песня. Не факт, что все эти проблемы вообще разрешимы.

[Sonic86]

alex1910 в сообщении #471863 писал(а):

Не буду - меня аналитическая теория чисел никак не интересует.
Гипотеза Римана, скорее всего, верна. Скорее всего, ее докажут в ближайшее время тупым аналитическим методом. Когда появится концептуальное доказательство - большой вопрос, думаю, не скоро.

Ну понятно.

alex1910 в сообщении #471863 писал(а):

Проблемы с простыми специального вида - отдельная песня. Не факт, что все эти проблемы вообще разрешимы.

Думаете даже так Я вот не уверен. Хотя кто знает...

[mihailm]

alex1910 в сообщении #471778 писал(а):

...
А зачем Вам это? По-моему, все вопросы с распределением простых закрыл еще Риман 150 лет тому назад, все доработки - мелкая косметика.

Какие вопросы закрыл Риман????