Robomaster90Дело в том, что линейность функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
это свойство
![$$
f(ax+by) = af(x)+bf(y).
$$ $$
f(ax+by) = af(x)+bf(y).
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/c/dbc451d395819b1e3a4237fa3ed9c89582.png)
Теперь о линейности уравнений. Уравнения не функции, линейными могут быть функции, который в них входят - но есть нюансы. Например, если
![$$
y = f(x)
$$ $$
y = f(x)
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/e/dfe7c5c0172a043b3dc291429e0bdd0c82.png)
где
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
линейна, то
![$$
y = kx
$$ $$
y = kx
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/7/de7c6ef4cf22c73d782337d2e85c93b782.png)
для какого-то
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
. С другой стороны, есть более общее уравнение, которое так же легко решается:
![$$
y = kx+b
$$ $$
y = kx+b
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/486b32d5c1891620a40b518ea2f7f53882.png)
но при этом сама функция
![$g(x) = kx+b$ $g(x) = kx+b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/5/bb5bb278ce7d8cea9e58a13758200ac282.png)
не является линейной, а является аффинной. Поэтому по сути линейным уравнением мы назовем такое
![$$
y = f(x)+b
$$ $$
y = f(x)+b
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/b/b6b89340603d71ee3b8ba5c91a61db2582.png)
где
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
линейна.
Теперь насчет дифуров. Общий вид разрешенного дифура первого порядка такой
![$$
y' = F(x,y).
$$ $$
y' = F(x,y).
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/e/48e6ba469bf747f6d5c543b093e62f3f82.png)
Функция в правой части зависит от обеих переменных в общем случае. Но оказывается, что зависимость ее от икса нисколько не вредит процедурам решения, а вот зависимость от игрека влияет очень сильно. Поэтом мы называем линейными уравнения, у которых
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
линейна по
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
- то есть
![$$
y' = k(x)y.
$$ $$
y' = k(x)y.
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/c/70c2e79b2e5df22130d4982737cef3bf82.png)
Ну и опять же, можно использовать те же самые методы, если
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
аффинна по игрек, а не линейна, то есть
![$$
y' = k(x)y+b(x).
$$ $$
y' = k(x)y+b(x).
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/c/51c88353084264b65d059f561653b5b082.png)