Полная система операций в алгебре множеств

[Dims]

В алгебре логики существуют полные системы операций, через которые можно выразить все остальные операции. Например, (и, не), (или, не), стралка Пирса и так далее.

А есть ли полная система в теории множеств. Ясно, например, что кроме пересечения и объединения, там должны быть такие операции, как заключение во множество и так далее.

[Someone]

Dims писал(а):

там должны быть такие операции, как заключение во множество и так далее.

???

А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", Москва, 1972.

Глава I, § 5.

Непустая система множеств $\mathfrak R$ называется кольцом, если она обладает тем свойством, что из $A\in\mathfrak R$ и $B\in\mathfrak R$ следует $A\bigtriangleup B\in\mathfrak R$ и $A\cap B\in\mathfrak R$.

Здесь $A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ - симметрическая разность множеств.

Поскольку $A\cup B=(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup(A\cap B)$ и $A\setminus B=A\bigtriangleup(A\cap B)$, то из $A\in\mathfrak R$ и $B\in\mathfrak R$ следует также, что $A\cup B\in\mathfrak R$ и $A\setminus B\in\mathfrak R$.

Множество $E\in\mathfrac S$ называется единицей системы множеств $\mathfrac S$, если $A\cap E=A$ для всех $A\in\mathfrak R$.

Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств.

В алгебре множеств $\mathfrak A$ для каждого $A\in\mathfrak A$ определено дополнение $\bar A=E\setminus A$, где $E\in\mathfrac S$ - единица алгебры $\mathfrak A$.

Таким образом, в кольце множеств полной системой операций может быть, например, пара операций $\bigtriangleup$ и $\cap$, а в алгебре множеств нужно ещё добавить нульарную операцию $E$ (единичный элемент).

А теория множеств вообще не является алгебраической системой. Ну ладно, объединение, пересечение, разность, произведение множеств, множество подмножеств ещё в каком-то смысле можно рассматривать как операции на множествах, но есть же ещё схемы аксиом выделения и замены, которые тоже можно рассматривать как операции, причём, таких операций можно определить бесконечное число, и вряд ли они сводятся к какому-либо конечному набору.

А в каком смыле можно считать "операциями" взятие подмножества или "надмножества"? По-моему, ни в каком, поскольку результат однозначно не определён.

Или Вы имели в виду что-то другое?

[Dims]

Не знаю. Я, наверное, зря употребил термин "алгебра".

Речь идёт о том, каким числом операций можно сконструировать любое множество? А если сузить вопрос только до конечныъ множеств?

[Someone]

У меня такое ощущение, что спутаны два разных вопроса. Например, в алгебре множеств (в том смысле, как я писал) можно поставить вопрос о минимальном наборе операций, через которые можно выразить все остальные (например, две бинарные $\cap$, $\bigtriangleup$ и одна нульарная $E$), а можно поставить вопрос о минимальном наборе элементов алгебры, которые порождают всю алгебру, то есть, любой элемент алгебры должен получаться из элементов данного набора с помощью операций, существующих в алгебре.

Возможно, Вы сможете найти ответ на интересующий Вас вопрос в следующей книге:

А.Мостовский. Конструктивные множества и их приложения. "Мир", Москва, 1973.

В книге рассматривается построение моделей теории множеств. Это не совсем то же самое, что построение всех множеств, но их строится достаточная совокупность для того, чтобы все аксиомы теории множеств выполнялись в этой совокупности.

P.S. Здесь термин "конструктивные множества" употребляется вовсе не в смысле конструктивной математики.

[Brukvalub]

Каждое множество является объединением своих элементов, то есть одноточечных множеств, поэтому операция объединения порождает всевозможные множества.

[Someone]

Для множества $A$ множество $\cup A$ определяется как объединение всех множеств, являющихся элементами множества $A$:

$$\cup A=\{z:\exists y((y\in A)\wedge(z\in y))\}$$

.
Например, $A\cup B=\cup\{A,B\}$.

Если мы хотим получить $X=\cup A$, то мы должны откуда-то получить множество $A$ и все его элементы. В частности, пытаясь построить $X$ как объединение одноэлементных множеств, мы должны ранее построить $A=\{\{x\}:x\in X\}$.

[Brukvalub]

Это препятствие к использованию одной лишь операции объединения действительно возникает, если исходить из принципов конструктивной теории множеств. Но, в исходном вопросе этого не было указано, вопрос стоял довольно размыто, вот я и решил немного "похулиганить", возможно Dims и не предполагал отталкиваться от аксиом конструктивной теории множеств, и его устроит мой ответ.

[Someone]

Совокупность всех одноэлементных множеств действительно является системой образующих для совокупности всех множеств, поскольку для любого множества $A$ множество $\{A\}$ содержит один элемент и $\cup\{A\}=A$. Но как-то не интересно это...

[juna]

Вот есть теорема Стоуна: булева алгебра (полная дистрибутивная решетка с дополнением) изоморфна алгебре множеств. Поэтому достаточно найти этот изоморфизм

[Dims]

Я имел в виду не алгебру множеств, а ту хреновину , которую используют как аппарат для построения различных математических конструкций. Например, для построение модели целых чисел по системе Пеано. Там есть атомы, их можно заключать в фигурные скобки, есть операции объединения и тому подобное, есть предикат принадлежности, пустое множество и так далее.