Симметрия и время

[ishhan]

Законам физики соответствуют свойства симметрии алгебраической формулы описывающих этот закон.
Сохранение алгебраической формы от нескольких переменных относительно преобразования переменных, которое обычно называют инвариантностью алгебраической формы или её симметрией, использовано для объяснения законов сохранения импульса, момента импульса и др. в знаменитой теореме Эммы Нёттер.
Рассмотрим квадратичную алгебраическую формулу от трёх переменных:

$$V^2_3(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$$

Форма имеет необычный вид симметрии суть которого в том, что $V^2_3(x_1,x_2,x_3)$ не изменяется или инвариантна относительно замены переменных, после которой одно из переменных превращается в обратную сумму всех трёх, а два оставшихся переменных или меняются местами или не меняются вовсе:

$$\begin{cases}x^*_1=-x_1-x_2-x_3\\x^*_2=x_2\\x^*_3=x_3\end{cases}$$

Или:

$$\begin{cases}x^*_1=-x_1-x_2-x_3\\x^*_2=x_3\\x^*_3=x_2\end{cases}$$

Проведём замену:

$$V^2_3(x^*_1,x^*_2,x^*_3)=(-x_1-x_2-x_3+x_2+x_3)^2+(-x_1-x_2-x_3)^2+x_2^2+x_3^2=x_1^2+(x_1+x_2+x_3)^2+x_2+x_3$$

$$V^2_3(x^*_1,x^*_2,x^*_3)=V^2_3(x_1,x_2,x_3)$$

Форма не меняется, вводя обозначение $s=x_1+x_2+x_3$ запишем инвариантность более наглядно:

$$V^2_3(x_1,x_2,x_3)=V^2_3(-s,x_2,x_3)=V^2_3(x_1,-s,x_3)=V^2_3(x_1,x_2,-s)$$

Теперь вместо переменных $x_1,x_2,x_3$ подставим $ix,iy,iz$ получим:

$$V^2_3(ix,iy,iz)=(ix+iy+iz)^2+(ix)^2+(iy)^2+(iz)^2=(ix+iy+iz)^2-x^2-y^2-z^2$$

Cделаем замену

$$ix+iy+iz=ct^*$$

Получим

$$V^2_3(ix,iy,iz)=(ct^*)^2-x^2-y^2-z^2$$

Эта алгебраическая формула совпадает с формулой интервала между событиями в пространстве Минковского, а значит вид симметрии формулы интервала между событиями совпадает с симметрией формы $V^2_3(x_1,x_2,x_3)$
Таким образом связь пространства и времени в интервале Минковского проявляется в свойстве симметрии, которое сохраняет интервал после превращения одного из мнимых переменных в обратную сумму всех.
Интересно, в каких ещё законах физики задействован подобный вид симметрии? Может быть это КХД?

[Munin]

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

Эта алгебраическая формула совпадает с формулой интервала между событиями в пространстве Минковского,

Нет, не совпадает, поскольку в пространстве Минковского $t$ - независимая переменная, а у вас - это всего лишь обозначение для выражения $ic^{-1}(x+y+z),$ составленного из остальных трёх переменных. Формула интервала в пространстве Минковского - квадратичная форма от четырёх переменных, а ваша - от трёх переменных, причём они почти нигде не совпадают.

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

Интересно, в каких ещё законах физики задействован подобный вид симметрии?

"Подобный вид симметрии" выделенным видом симметрии не является, а всего лишь является надуманной заменой координат для не слишком симметричной квадратичной формы (истинными симметриями этой квадратичной формы являются вращения вокруг оси $x=y=z$ и зеркальные отражения). Этот ваш "подобный вид симметрии" ни в каких законах физики не задействован, так что слово "ещё" здесь неуместно.

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

Может быть это КХД?

В КХД группа симметрии SU(3). Я думаю, вам объяснять, что это, бесполезно, раз вы с квадратичными формами ещё незнакомы...

[ishhan]

Munin в сообщении #471035 писал(а):

"Подобный вид симметрии" выделенным видом симметрии не является, а всего лишь является надуманной заменой координат для не слишком симметричной квадратичной формы (истинными симметриями этой квадратичной формы являются вращения вокруг оси $x=y=z$ и зеркальные отражения). Этот ваш "подобный вид симметрии" ни в каких законах физики не задействован, так что слово "ещё" здесь неуместно.

Что такое не слишком симметричная форма и надуманная замена?
Если форма не меняется после "надуманной" замены переменных, то она инвариантна или симметрична относительно этой замены.
Ни каких надуманных замен и не слишком симметричных форм быть не может.
И поскольку замена переменных (не обязательно координат):
$x^*=-x-y-z$
$y^*=y$
$z^*=z$
оставляет форму без изменений, то хотите вы того или нет, форму придётся считать симметричной или инвариантной относительно такой замены.
Если симметрия определённая таким образом существует для алгебраической формы, то и в физических явлениях описанных при помощи этой формы проявляется тот же вид симметрии.
Так алгебраические формы:
$(x+y)(z+x)(z+y)$
$(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$ где p-простое число больше 3
тоже не меняются от такой замены переменных.
Вы же не будете утверждать, что формы не очень то симметричны, замена не имеет права на существование поскольку она надуманная, а симметрия приведённых выше алгебраических форм относительно такой замены не выполняется, основываясь только на том, что вы о ней раньше ничего не знали и не встречали в научной литературе.

[vvb]

ishhan в сообщении #471119 писал(а):

Если симметрия определённая таким образом существует для алгебраической формы, то и в физических явлениях описанных при помощи этой формы проявляется тот же вид симметрии.

Не факт. Вам еще надо доказать, что Ваша симметрия не есть особенность какого-то конкретного представления, которая исчезает, например, при переходе к другой системе координат.

[EvilPhysicist]

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

Законам физики соответствуют свойства симметрии алгебраической формулы описывающих этот закон.

Скорее свойства инвариантности скажем функции Лагранжа относительно определенной группы перобразований.

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

Сохранение алгебраической формы от нескольких переменных относительно преобразования переменных, которое обычно называют инвариантностью алгебраической формы или её симметрией, использовано для объяснения законов сохранения импульса, момента импульса и др. в знаменитой теореме Эммы Нёттер.

Там было использованно вариационное исчисление и теория групп.

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

Рассмотрим квадратичную алгебраическую формулу от трёх переменных:

$$V^2_3(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$$

Не проще ли её матрицей задать?

$$ V^2_3= \begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 1& 2 & 1 \\ 1& 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Аналогично и с заменой переменных. Матрицы замены для предложеных вами замен

$$ \begin{pmatrix} -1& -1& -1 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} -1& -1& -1 \\ 0 & 0&1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Ну и тогда не трудно проверить, что после этих преобразований форма отсанется неизменной.

$$ \begin{pmatrix} -1& 0& 0\\ -1 & 1&0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 1& 2 & 1 \\ 1& 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1& -1& -1 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 1& 2 & 1 \\ 1& 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Но интереснее другое. Какой физический смысл несёт эта квадратичная форма?

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

еперь вместо переменных $x_1,x_2,x_3$ подставим $ix,iy,iz$ получим:

$$V^2_3(ix,iy,iz)=(ix+iy+iz)^2+(ix)^2+(iy)^2+(iz)^2=(ix+iy+iz)^2-x^2-y^2-z^2$$

Cделаем замену

$$ix+iy+iz=ct^*$$

Получим

$$V^2_3(ix,iy,iz)=(ct^*)^2-x^2-y^2-z^2$$

А возмём колличество цветов радуги - 7 и помножим их на число дней, в которые бог работал, когда создавал мир - 6. Получим 42 - ответ на вопрос жизни вселенной и вообще. Примерно такие же и у вас обоснования данной замены.

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

Таким образом связь пространства и времени в интервале Минковского проявляется в свойстве симметрии, которое сохраняет интервал после превращения одного из мнимых переменных в обратную сумму всех.

Интервал $ ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2 $ проявляет свойства симметрии относительно группы поворота пространственных осей и преобразований Лоренца.

ishhan в сообщении #471119 писал(а):

Что такое не слишком симметричная форма и надуманная замена?

Значит нет физических обоснований почему надо брать эту группу и производитьт именно эту замену.

ishhan в сообщении #471119 писал(а):

Если форма не меняется после "надуманной" замены переменных, то она инвариантна или симметрична относительно этой замены.

Беру форнму $ W(x,y,z)=0 $. Она инвариантна относительно любых замен вообще. Что же это я только что нашёл самый универсальный закон физики? Ведь какие замены не делай - ничего не измениться.

ishhan в сообщении #471119 писал(а):

И поскольку замена переменных (не обязательно координат):
$x^*=-x-y-z$
$y^*=y$
$z^*=z$
оставляет форму без изменений, то хотите вы того или нет, форму придётся считать симметричной или инвариантной относительно такой замены.

Эта замена не имеет смысла.

[Munin]

ishhan в сообщении #471119 писал(а):

Ни каких надуманных замен и не слишком симметричных форм быть не может.

Форма $x^2+y^2+z^2$ более симметрична, чем $(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2.$
Ваша замена ничем не выделена среди множества замен, осуществляемых ортогональными преобразованиями в смысле метрики $V,$ и поэтому надумана.

ishhan в сообщении #471119 писал(а):

Если симметрия определённая таким образом существует для алгебраической формы, то и в физических явлениях описанных при помощи этой формы проявляется тот же вид симметрии.

Вот только на свете нет физических явлений, описанных с помощью этой формы.

Поскольку тема отношения к физике не имеет, прошу удалить её из раздела "Дискуссионные темы (Физика)".

[ishhan]

EvilPhysicist в сообщении #471140 писал(а):

Беру форму $ W(x,y,z)=0 $. Она инвариантна относительно любых замен вообще. Что же это я только что нашёл самый универсальный закон физики? Ведь какие замены не делай - ничего не измениться.

Это не форма это уравнение.

EvilPhysicist в сообщении #471140 писал(а):

Эта замена не имеет смысла.

Это вам так кажется на первый взгляд.
Так как вы раньше не сталкивались с этим видом симметрии.
Смысл этой замены заключается в том, что три элемента $a,b,c$ порождают четвёртый элемент $-a-b-c$ который равноправно с элементами $a,b,c$ может входить в тройку переменных от которых форма принимает одно и то же значение.
То есть:
$W(1,0,0)=W(-1,0,0)=W(1,-1,0)=W(1,0,-1)$
Кроме того всё сказанное можно обобщить на случай произвольного числа переменных, а форма которая имеет этот вид симметрии широко известна и называется ноль характеристики $p$

$$(x_1+x_2+...+x_n)^p-x_1^p-x_2^p-...-x_n^p$$

$p$ простое число больше или равное 3

[EvilPhysicist]

ishhan в сообщении #471155 писал(а):

Это не форма это уравнение.

Чёй-то? То есть вот это

ishhan в сообщении #471006 писал(а):

$$V^2_3(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$$

форма, а вот это

EvilPhysicist в сообщении #471140 писал(а):

$ W(x,y,z)=0 $

не форма? По каким же это вы критериям определяете, что форма, а что нет?

ishhan в сообщении #471155 писал(а):

Смысл этой замены заключается в том, что три элемента $a,b,c$ порождают четвёртый элемент $-a-b-c$ который равноправно с элементами $a,b,c$ может входить в тройку переменных от которых форма принимает одно и то же значение.

Ну если три элемента и порождают четвёртый, то он с ними совершенно точно не равноправен. Потому что изменение одного из первых трёх никогда не повличёт изменения двух других, но всегда повлечёт изменение третьего. Это во-первых.
Вы это писали применительно к пространству, так что там эти три элемена и что четвёртый? этол во-вторых.

ishhan в сообщении #471155 писал(а):

Кроме того всё сказанное можно обобщить на случай произвольного числа переменных

Что это даст? что это за физический закон такой? Что описывает?

[ishhan]

Munin в сообщении #471144 писал(а):

Форма $x^2+y^2+z^2$ более симметрична, чем $(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2.$

Форма $x^2+y^2+z^2$ имеет перестановочную симметрию переменных
Форма $(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2 $ помимо перестановочной симметрии, обладает симметрией относительно замены одного из переменных на обратную сумму всех трёх.
Почему же более симметрична первая форма?

Munin в сообщении #471144 писал(а):

Поскольку тема отношения к физике не имеет, прошу удалить её из раздела "Дискуссионные темы (Физика)"

Кто то из великих сказал: "в любой естественной науке столько истины сколько в ней математики".
Не надо передёргивать, пользуясь тем, что вы заслуженный участник форума.

[EvilPhysicist]

ishhan в сообщении #471173 писал(а):

Форма $x^2+y^2+z^2$ имеет перестановочную симметрию переменных

Ещё кучу всяких. Точнее говоря все преобразования, матрицы которых ортогональны.

ishhan в сообщении #471173 писал(а):

Форма $(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2 $ помимо перестановочной симметрии, обладает симметрией относительно замены одного из переменных на обратную сумму всех трёх.

А под "перестановочной симметрией" вы понимаете, то, что если мы изменим две переменные, то ничего не изменится?
Более того, эта форма инварантна относительно всех преобразований, которые являются решение матричного уравнени $ A^{-1} \begin{pmatrix} 2&1&1 \\ 1& 2& 1\\ 1&1& 2 \end{pmatrix} A = \begin{pmatrix} 2&1&1 \\ 1& 2& 1\\ 1&1& 2 \end{pmatrix}$.

ishhan в сообщении #471173 писал(а):

Кто то из великих сказал: "в любой естественной науке столько истины сколько в ней математики".

Ну у вас кроме математики ничего нет.

[ishhan]

EvilPhysicist в сообщении #471163 писал(а):

Ну если три элемента и порождают четвёртый, то он с ними совершенно точно не равноправен. Потому что изменение одного из первых трёх никогда не повлечёт изменения двух других, но всегда повлечёт изменение третьего. Это во-первых.
Вы это писали применительно к пространству, так что там эти три элемента и что четвёртый? это во-вторых.

Это я писал применительно к мнимым переменным, которые не имеют отношения к пространственным координатам. Только их модуль и квадрат выражения$ix+iy+iz$ является действительным числом. Почувствуйте разницу и вам станет ясно, что здесь не всё так просто как вам кажется.

EvilPhysicist в сообщении #471163 писал(а):

Чёй-то? То есть вот это
ishhan в сообщении #471006 писал(а):

$$V^2_3(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$$

форма, а вот это
EvilPhysicist в сообщении #471140 писал(а):
$ W(x,y,z)=0 $

не форма? По каким же это вы критериям определяете, что форма, а что нет?

Прочтите для общего развития определение алгебраической формы.

[EvilPhysicist]

ishhan в сообщении #471184 писал(а):

Это я писал применительно к мнимым переменным, которые не имеют отношения к пространственным координатам. Только их модуль и квадрат выражения$ix+iy+iz$ является действительным числом. Почувствуйте разницу и вам станет ясно, что здесь не всё так просто как вам кажется.

Это не ответ на вопрос, что эта форма описывает и какой имеет физический смысл.

ishhan в сообщении #471184 писал(а):

Прочтите для общего развития определение алгебраической формы.

Звучит как уклонение от ответа.

[Kallikanzarid]

ishhan
Если вам нравятся многочлены, посмотрите книгу Харриса "Алгебраическая геометрия: начальный курс".

[ishhan]

EvilPhysicist в сообщении #471187 писал(а):

ishhan в сообщении #471184 писал(а):
Прочтите для общего развития определение алгебраической формы.

Звучит как уклонение от ответа.

Под целочисленной формой от трёх переменных $f^m(x_1,x_2,x_3)$степени $m$ я понимаю алгебраическое выражение состоящее из слагаемых вида$F_{i,j,k}x^iy^jz^k$, где $F_{i,j,k}$ коэффициент при слагаемом $x^i,y^j,z^k$,
$i+j+k=m$ суммирование проходит по всем возможным упорядоченным тройкам $i,j,k$ которые в сумме дают $m$
Пример формы от трёх переменных степени 2:
$f^2(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+xz+zy$

[EvilPhysicist]

ishhan в сообщении #471205 писал(а):

Под целочисленной формой от трёх переменных $f^m(x_1,x_2,x_3)$степени $m$ я понимаю алгебраическое выражение состоящее из слагаемых вида$F_{i,j,k}x^iy^jz^k$, где $F_{i,j,k}$ коэффициент при слагаемом $x^i,y^j,z^k$,

Ну дак я это и написал. Если вам не понятно могу по другому написать $ W = 0 *x^2 + 0*y^2 + 0*z^2 + 0 *xy + 0* xz + 0* yz $.

ishhan в сообщении #471205 писал(а):

$i+j+k=m$ суммирование проходит по всем возможным упорядоченным тройкам $i,j,k$ которые в сумме дают $m$

Тогда эта сумма должна быть бесконечной, например $m= 0+(m-1) +1 = 0 + (m-1) +2 = ... =0+ (m-n) +n=...$.