Задача о конечных множествах - элементарное рассмотрение

[Circiter]

Странно... Давайте по-порядку.

1. Дана инъекция $f\colon A\to B$ и $|A|=n$. Из инъективности $f$ следует, что $n$ элементов $B$ имеют прообразы, правильно?
2. Но в $B$ всего $n$ элементов, по-условию! Значит, все элементы $B$ имеют прообразы, а это определение сюръективности, правильно?

Где ошибка? Доказать-то надо именно сюръективность и всё?

P.S.: Не обижайтесь, меня иногда "клинит". :)

[Someone]

Ну пусть у нас $A=B=\mathbb N$ – натуральный ряд. Тождественное отображение $\varphi\colon A\to B$, определяемое формулой $\varphi n=n$ для всех $n\in A$, является биекцией, так что $|A|=|B|=\aleph_0$ – множества равномощны. С другой стороны, мы можем определить отображение $f\colon A\to B$ формулой $fn=n+1$ для всех $n\in A$. И дальше рассуждать так же, как Вы.

Якобы Circiter в сообщении #469161 писал(а):

1. Дана инъекция $f\colon A\to B$ и $|A|=\aleph_0$. Из инъективности $f$ следует, что $\aleph_0$ элементов $B$ имеют прообразы, правильно?
2. Но в $B$ всего $\aleph_0$ элементов, по-условию! Значит, все элементы $B$ имеют прообразы, а это определение сюръективности, правильно?

Теперь ошибку видите?

(Ответ)

В Вашем рассуждении никак не используется конечность множества $B$.

[gefest_md]

Понял, что нельзя отказываться от построенного множества $\mathrm{Rng}f\cup\{y\}$.

(Оффтоп)

Советую первокурсникам рассуждать вслух если есть уверенность.

У меня вопрос прозвучал так: Какие ещё есть множества мощности $n+1$? Откровенного ответа особенно не искал, но решение пришло почти сразу: конечно $\mathrm{Rng}f\cup\{y\}\subseteq B$, и отсюда, согласно уже доказанной теореме, получил $|\mathrm{Rng}f\cup\{y\}|\leqslant n$. Т.е. $n+1\leqslant n$, что идёт в противоречие с теоремой $1>0$.