Вопрос о сжимающих отображениях

[RIP]

flower_fire писал(а):

Я ,как понимаю, Вы имеете ввиду для любого компакта и отображения с указанными св-ми нет неподвижной тички.
В моём примере она вроде есть?

В Вашем вопросе спрашивается : "Может ли существовать неподвижная точка?" Ответ: да, Ваш пример это показывает. Но это совсем тривиальная задача.
На вопрос "Может ли не существовать неподвижной точки?" ответ - нет. И это содержательная задача. Переформулирую:
Пусть $(X,d)$ - компактное метрическое пространство, $f\colon X\to X$ таково, что при любых $x\ne y$ выполняется $d(f(x),f(y))<d(x,y)$. Докажите, что $f$ имеет неподвижную точку.

[flower_fire]

Всё ясно. Спасибо.