Предел дробной части ряда

[Volodya-morda]

Правда ли что несуществует такой вещественнозначной монотонно-возрастающей функции f(n) для которой было бы справедливо

$$\lim_{n\to\infty}\left\{\sum\limits_{i=1}^{f(n)} \sqrt{i^2+1}\right\}=0$$

[Vince Diesel]

Нет.

[Volodya-morda]

Vince Diesel
Где доказательство, или это слишком уж очевидно!?

[myra_panama]

Volodya-morda , нпр. подставьте $f(n)=n$ ,

[Volodya-morda]

Подставить-то можно, только будет ли толк от этого!?

[Gortaur]

Volodya-morda
Володя, смотрите. Для $f(n) = n$ это уже было показано. Теперь, т.к. произвольная $f(n)$ возрастает, то для любого $m$ найдется такое $n$, что $f(n)>m$ - значит и сумма ряда до $f(n)$ будет не меньше, чем сумма ряда до $m$. Если идея ясна - сможете сформулировать доказательство четко и формально?

[Volodya-morda]

Цитата:

Для $f(n) = n$ это уже было показано. Теперь, т.к. произвольная $f(n)$ возрастает, то для любого $m$ найдется такое $n$, что $f(n)>m$ - значит и сумма ряда до $f(n)$ будет не меньше, чем сумма ряда до $m$.

Это По индукции, что ли?
Иногда в помощь приходит обычный калькулятор. Обозначим
$\sum\limits_{i=1}^n {\sqrt{i^2+1}}=S_n$
Вычисления первых десяти значений:
$S_1$=1.4142135623731
$S_2$=3.65028153987289
$S_3$=6.81255920004127
$S_4$=10.9356648256589
$S_5$=16.0346843392517
$S_6$=22.1174468695499
$S_7$=29.1885146814154
$S_8$=37.2507724297139
$S_9$=46.3061575678513
$S_{10}$=56.3560331889722
Уже по этим данным видно, что предела при $f(n)=n$ не существует? Или же предел существует, но не равный нулю, начиная с некоторого $k>n$ (или же последовательность $\{S_n\}$ стремится к нулю, начиная с некоторого $k>n$?)? Объясните!

[Vince Diesel]

Volodya-morda в сообщении #470442 писал(а):

Где доказательство, или это слишком уж очевидно!?

(Оффтоп)

На второй сложный вопрос не отвечаю

А где оно должно быть? Во первых, в исходном сообщении не было вопроса о доказательстве. Во-вторых, в этом разделе выкладывание готовых решений для стандартных задач и не нужно

Однако можно заметить следующее. Обозначим $a_k=\sqrt{k^2+1}$, $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$, $s_n=\sum_{k=1}^n \{a_k\}$. Тогда

1) $\{S_n\}=\{s_n\}$;

2) $\{a_k\}=\frac1{2k}+O\left(\frac1{k^3}\right)$, так что $\lim_{k\to\infty}\{a_k\}=0$;

3) ряд $\sum_{k=1}^\infty \frac1k$ расходится.

Следовательно...

[Slip]

Ну не знаю как насчет нуля, а ненулевой предел получить можно. Например, берем $f(n)=2^{2n}$. Тогда $\left\{\sum\limits_{k=1}^{f(n)}\sqrt{k^2+1}\right\}=\left\{\sum\limits_{k=1}^{f(n)}\sqrt{k^2+1}-k\right\}=\left\{\sum\limits_{k=1}^{f(n)}\frac1{\sqrt{k^2+1}+k}\right\}=\left\{\sum\limits_{k=1}^{f(n)}\left(\frac1{\sqrt{k^2+1}+k}-\frac1{2k}\right)+\frac12\sum\limits_{k=1}^{f(n)}\frac1k\right\}$. Вторая сумма есть $\frac12\ln f(n)+\frac\gamma2 +O\left(\frac1n\right)$, а первая сходится к числу между $0$ и $-\frac{\zeta(3)}8$, поэтому c учетом $\frac12\ln f(n)=n$, $\lim\limits_{n\to\infty}\left\{\sum\limits_{k=1}^{f(n)}\sqrt{k^2+1}\right\}=S=\left\{\frac\gamma2+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}-\frac1{2n}\right)\right\}\approx 0.17959$. Чтобы разобраться с нулем, можно попробовать действовать похожим образом, а тогда вопрос можно свести к такому: верно ли, что найдется такая $f(n)$, что $\left\{\frac12\ln f(n)\right\}$ монотонно убывает и стремится к $1-S$.

[sup]

Да там любое $0 \leqslant a \leqslant 1$ можно в пределе получить. Рассмотрим суммы

$$\sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{i^2+1}-i$$

Поскольку общий член ряда стремится к 0 (но ряд расходится), эти суммы все плотнее расположены на числовой оси. А значит их дробные части все плотнее "заполняют" отрезок $[0,1]$. Осталось заметить, что эти самые дробные части для этого ряда и для исходного просто совпадают.

[Kallikanzarid]

Volodya-morda
Какие вам известны необходимые признаки сходимости ряда?

-- Пт июл 22, 2011 18:26:34 --

(Оффтоп)

Все, кто ответили нет: вы с дуба рухнули?

[Gortaur]

(Оффтоп)

Перепутал положение дробной части

[Volodya-morda]

Vince Diesel

Цитата:

А где оно должно быть? Во первых, в исходном сообщении не было вопроса о доказательстве

А Вы бы поверили, например, в отрицательность Теоремы Фермы без доказательства!?

Kallikanzarid

Цитата:

Какие вам известны необходимые признаки сходимости ряда?

Да много есть этих признаков, все и не припомнишь. Но видимо для решения этой задачи признаки не нужны.(разве что пр. сравнения)

Slip

Цитата:

поэтому c учетом $\frac12\ln f(n)=n$

Поправка $\frac12\ln f(n)=n\ln{2}$

Slip

Цитата:

верно ли, что найдется такая $f(n)$, что $\left\{\frac12\ln f(n)\right\}$ монотонно убывает и стремится к $1-S$.

Но насколько известно $\left\{\frac12\ln f(n)\right\}$ не может стремится к постоянному пределу. Правда ли...?

[Volodya-morda]

Вот такая оценка у меня получилась

$$\lim_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{i^2+1}-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}\ln{n}\right)=\frac{1}{2}{\ln{2}}$$

[Kallikanzarid]

Ой, я не увидел про дробную часть