Неполнота функтора * : Lin -> Lin

[Норберт]

Все рассматривается в категории $\textsc{Lin}$ над полем $\mathbb{C}$. Нужно доказать что функтор ${}^*\colon \textsc{Lin}\to\textsc{Lin}$ не является полным. Проще говоря, нужно привести пример двух пространств $X$ и $Y$ и линейного отображения $S\colon Y^*\to X^*$ таких что $S\neq T^*$ ни для какого линейного отображения $T\colon X\to Y$.

Вот что я придумал. Ясно что оба пространства должны быть бесконечномерны. Более того

$$ \mathrm{Hom}(Y^*,X^*)=\mathrm{Hom}(Y^*,\mathrm{Hom}(X,\mathbb{C}))\cong\mathrm{Hom}(Y^*\times X,\mathbb{C}) $$

Поэтому достаточно привести пример билинейной функции $B\colon(Y^*,X)\to\mathbb{C}$ такой что для любого линейного отображения $T\colon X\to Y$ при некоторых $f\in Y^*$, $x\in X$

$$ B(f,x)\neq f(Tx) $$

Теперь достаточно доказать что для некоторого $x\in X$ нельзя построить вектор $y\in Y$ такой что для всех $f\in Y^*$ выполнено

$$ B(f,x)=f(y) $$

Как вести доказательство дальше я не знаю. Возможно есть и другой более простой путь решения.

[Kallikanzarid]

Норберт в сообщении #470505 писал(а):

${}^*\colon \textsc{Lin}\to\textsc{Lin}$

Мелкая придирка: должно быть $*: \textsc{Lin}^{op} \to \textsc{Lin}$ (ибо контравариантность).

Норберт в сообщении #470505 писал(а):

$$ \mathrm{Hom}(Y^*,X^*)=\mathrm{Hom}(Y^*,\mathrm{Hom}(X,\mathbb{C}))\cong\mathrm{Hom}(Y^*\times X,\mathbb{C}) $$

Большая придирка: должно быть $\otimes$.

-- Пт июл 22, 2011 17:33:44 --

Зафиксировав хамелевы базисы $B_U$ и $B_V$ пространств $U$ и $V$ соответственно, получим биекцию $L(U, V) \to B_V^{B_U}$. Но для любого бесконечномерного пространства $X$ хамелев базис $X$ имеет мощность строго меньшую, чем хамелев базис $X^*$, что и доказывает неполноту функтора $^*$.

Это с использованием аксиомы выбора :) Можно попытаться и без нее, попробуйте приспособить для этого дельту Дирака $\delta(f) := f(0)$.

[Норберт]

По поводу мелкой придирки. Если рассматривать этот функтор из категории $\textsc{Lin}^{op}$ то он как раз станет ковариантным.
По поводу большой придирки. Под $\mathrm{Hom}(Y^*\times X, \mathbb{C})$ я подразумеваю семейство БИ-линейных отображений. Могу исправить на $\mathrm{Hom}^{(2)}(Y^*\times X, \mathbb{C})$

[Kallikanzarid]

Ой, я ошибся :( Биекция будет такая: $\displaystyle L(U,V) \to \prod^{B_U}V$ - мы сопоставляем каждому базисному вектору из $U$ его образ - вектор из $V$. Но аргумент все равно проходит: $\operatorname{card}V < \operatorname{card}V^*$ в бесконечномерном случае.

[Норберт]

Думаю что с дельта функцией Дирака

$$ \delta\colon X^*\to\mathbb{C}\quad f\mapsto f(0) $$

ничего не получится т.к. она действует в конечномерное пространство $\mathbb{C}$.

Но все равно доказательство у Вас очень хорошее. Спасибо.