Условная вероятность, вер. пространства

[ShMaxG]

Здравствуйте!

Рассмотрим следующую простую задачку.

Студент пришел сдавать зачет. Имеется 2 преподавателя. Известно, что вероятность сдать зачет преподавателю А равна $p_1$, а вероятность сдать зачет преподавателю В равна $p_2$. Пусть вероятность попасть к первому препу равна $p_A$, а ко второму $p_B$. Найти вероятность сдачи зачета.

Понятное дело, что ответ будет такой: $P = p_1p_A + p_2p_B$.

Я хочу ясно себе представить все вероятностные пространства, события, сигма-алгебры и распределения, которые фигурируют в задаче.

Вероятностное пространство, связанное с преподавателем А: $\[\left( {{\Omega _A},{F_A},{P_A}} \right)\]$, где $\[{\Omega _A} = \left\{ {{\omega _{1A}},{\omega _{2A}}} \right\}\]$ (сдал/не сдал), $\[{F_A} = \left\{ {{\Omega _A},\emptyset ,{\omega _{1A}},{\omega _{2A}}} \right\}\]$, $\[P\left( {{\omega _{1A}}} \right) = {p_1}\]$, $\[P\left( {{\omega _{2A}}} \right) = 1 - {p_1}\]$.
Вероятностное пространство, связанное с преподавателем B: $\[\left( {{\Omega _B},{F_B},{P_B}} \right)\]$, где $\[{\Omega _B} = \left\{ {{\omega _{1B}},{\omega _{2B}}} \right\}\]$ (сдал/не сдал), $\[{F_B} = \left\{ {{\Omega _B},\emptyset ,{\omega _{1B}},{\omega _{2B}}} \right\}\]$, $\[P\left( {{\omega _{1B}}} \right) = {p_2}\]$, $\[P\left( {{\omega _{2B}}} \right) = 1 - {p_2}\]$.

Общее вероятностное пространство: $\[\left( {\Omega ,F,P} \right)\]$.

Пространство элементарных событий $\[\Omega = \left\{ {{\omega _1},{\omega _2},{\omega _3},{\omega _4}} \right\}\]$, где
$\omega _1$ -- исход "студент попал к препу А и сдал ему зачет",
$\omega _2$ -- исход "студент попал к препу А и не сдал ему зачет",
$\omega _3$ -- исход "студент попал к препу В и сдал ему зачет",
$\omega _4$ -- исход "студент попал к препу В и не сдал ему зачет".
Введем некоторые обозначения: $\[A = {\omega _1} \cup {\omega _2}\]$ (событие "студент попал к препу А"), $\[B = {\omega _3} \cup {\omega _4}\]$ (событие "студент попал к препу В"), $\[C = {\omega _1} \cup {\omega _3}\]$ (событие "студент сдал зачет").

Сигма-алгебра:
$\[F = \left\{ {\Omega ,\emptyset ,{\omega _1},{\omega _2},{\omega _3},{\omega _4},...} \right\} = \left\{ {\Omega ,\emptyset ,A \cap C,A\backslash \left( {A \cap C} \right),B \cap C,B\backslash \left( {B \cap C} \right),A,B,C,...} \right\}\]$

Распределение вероятностей (не все, но главное):

$$\[P\left( A \right) = {p_A},{\text{ }}P\left( B \right) = {p_B},{\text{ }}P\left( {A \cap C} \right) = P\left( {{\omega _1}} \right) \triangleq {P_A}\left( C \right)P\left( A \right),{\text{ }}P\left( {B \cap C} \right) = P\left( {{\omega _3}} \right) \triangleq {P_B}\left( C \right)P\left( B \right)\]$$

При этом $\[{P_A}\left( C \right)\]$ -- условная вероятность сдачи зачета, при условии, что студент попал к препу А. Аналогично $\[{P_B}\left( C \right)\]$.
Более того, $\[{P_A}\left( C \right) = {P_A}\left( {{\omega _{1A}}} \right) = {p_1},{P_B}\left( C \right) = {P_B}\left( {{\omega _{1B}}} \right) = {p_2}\]$.

Очевидно, что $\[\Omega = A \cup B\]$ и $\[A \cap B = \emptyset \]$. Значит $\{A,B\}$ -- полная система событий, поэтому

$$\[P\left( C \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {BC} \right) = {P_A}\left( C \right)P\left( A \right) + {P_B}\left( C \right)P\left( B \right) = {p_1}{p_A} + {p_2}{p_B}\]$$

.
Т.е. для формально верного решения такой задачи (и для решения подобных задач) строится вероятностное пространство $\[\left( {\Omega ,F,P} \right)\]$, для которого распределения $\[{{P_A}}\]$ и $\[{{P_B}}\]$ вероятностных пространств $\[\left( {{\Omega _A},{F_A},{P_A}} \right)\]$ и $\[\left( {{\Omega _B},{F_B},{P_B}} \right)\]$ соответственно являются условными распределениями.

Все верно? Или все гораздо проще?

[_hum_]

Важный момент, который вам как физику (если не ошибаюсь) полезно было бы понимать. Ситуация тут такова. Есть эксперимент Э0, состоящий в том, что студент случайным образом попадает к одному из преподов и сдает либо нет экзамен. Интересуются следующим вопросом - если провести таких испытаний очень большое число, в скольких случаях будет наблюдаться сдача экзамена (какова будет относительная частота появления события $\mathbf{A}$ = "сдал"). Для предсказания этой частоты нужно построить адекватную математическую вероятностную модель, а именно, найти подходящие измеримое пространство $(\Omega^0, \mathcal{F}^0) $и задать отвечающую относительной частоте вероятностную меру $P^0$. С построением измеримое пространства проблем нет:
для построения пространства исходов $\Omega^0$ достаточно выбрать подходящий способ кодировки результатов опытов, например, кодировать преподавателей и результаты сдачи цифрами $0,1$, тогда каждому результату опыта будет поставлен в соответсветствие единственным образом исход $\omega^0 = (b_1,b_2), b_1,b_2 \in \{0,1\}$, где цифра на первом месте отвечает преподавателю, а на втором - результату сдачи. Далее, поскольку простраствно исходов дикскретно, то в качестве алгебры $\mathcal{F}^0$ можно выбрать максимальную алгебру "множества всех подмножеств" (алгебру, позволяющую описать все возможные фиксируемые в данном эксперименте по наблюдаемым исходам события), т.е., положить $\mathcal{F}^0 = 2^\Omega$. А вот теперь самое сложное. Нам нужно как-то задать значения вероятностной меры на этой алгебре. Что у нас есть? Только данные по идеальным частотам в отдельных, вообще говоря, никак не связанных между собой экпериментах (они могли производится, например, в разное время): Э1,Э2,Э3, где эксперимент Э1 состоит в том, что для студента из двух преподов случайным образром выбирается определенный, Э2 - прием экзамена преподом 1, Э2 - прем экзамена преподом 2. Как же "перетащить" информацию из этих экспериментов (у каждого из которых своя вероятностная модель) в нашу исходную. Первый прием: руководствуясь здавым смыслом и другими аргументами, постулировать, что в Э0 существуют события, идельная частота которых неотличима от идельной частоты событий из Э0. Например, резонно считать, что событие в Э1 "попасть к преподу 1" будет иметь такую же идеальную частоту, как и событие в Э0 "попасть к переподу 1 и сдать или не сдать". Таким образом, устанавливается соответсвие между событиями в разных моделях (одна модель вкладывается в другую) и это позволяет переносить данные из одной модели на другую.
Второй прием: постулировать, что идеальные частоты событий из Э2 ничем не отличаются от "просеянных" идеальных частот некоторых событий в Э0, где под "просеянной частотой" понимается частота события, рассчитанная по результатам наблюдений, из которых (по какому-то признаку/условию) часть отбрасывается. Например, из здравого смысла, частота события из Э2 $\mathbf{A}^2 $ = "препод ставит положительную оценку" будет такой же, как и просеянная частота наблюдений события из Э0 $\mathbf{A}^0 $ = "препод ставит положительную оценку", где отброшены были все наблюдения, в которых не наблюдалось попадания студента к преподу 1. Просеянная частота всякого события $\mathbf{A}^0 $ из Э0 (с уловием просеивания Cond) связана с обычной частотой события, как можно сообразить, следующим соотношением:

$$\nu^{0,sieved}(\mathbf{A}^0 | Cond) = \dfrac{\nu^0(\mathbf{A}^0\,\text{\bf и }Cond = \mathrm{TRUE})}{\nu^0(Cond = \mathrm{TRUE})},$$

а значит, с учетом принятого постулата о том, что $\nu^{0,sieved}(\mathbf{A}^0 | Cond) = \nu^2(\mathbf{A}^2$) при заданных условиях просеивания, получаем:

$$\nu^{2}(\mathbf{A}^2 ) = \dfrac{\nu^0(\mathbf{A}^0\,\text{\bf и }Cond = \mathrm{TRUE})}{\nu^0(Cond = \mathrm{TRUE})},$$

В нашем случае условие $Cond$ задается требованием наступления события $\textbf{U}^0$ = "попадание к преподу 1", поэтому можно переписать в виде:

$$\nu^{2}(\mathbf{A}^2 ) = \dfrac{\nu^0(\mathbf{A}^0\,\text{\bf и }\textbf{U}^0)}{\nu^0(\textbf{U}^0)},$$

Обратите внимание - слева и справа стоят частоты, рассчитанные в разных экпериментальных моделях! Это опять же позволяет данные из одной модели "перекачивать" в другую. В тервере для возможности использования этого чрезвычайно полезного приема и вводится понятие условной вероятности как величины $P^0(A^0 | U^0)$ (как протитипа просеянной частоты), связанной с вероятностями событий соотношенийм $P^0(A^0 | U^0)) = P^0(A^0 U^0)/P^0(U^0))$.

Это я все к тому, что при разработке модели всегда используются такие приемы перехода к другим (как правило более простым) моделям, и за корректностью таких переходов надо следить.

[ShMaxG]

Ничего не понял (наверно потому, что никакой я не физик ), очень сложно написали, кроме

_hum_ в сообщении #470402 писал(а):

Это я все к тому, что при разработке модели всегда используются такие приемы перехода к другим (как правило более простым) моделям, и за корректностью таких переходов надо следить.

Ну ясное дело. Вычисление параметров сложной системы в терминах параметров более простых, из которых эта более сложная система состоит. Вот я в своем первом сообщении и попросил на всякий случай проверить, все ли там корректно? Но раз Вы (как я понимаю) прочитав первый пост в меня ничем не кидаетесь, то ок.

[Хорхе]

Понятно, что все гораздо проще и можно сразу написать формулу полной вероятности. Но уж если буквоедствовать, то следует написать сразу $\Omega$ без $\Omega_A$, $\Omega_B$. А то у Вас получается какой-то каскад вероятностных пространств, причем пара из них из них "условные". У Колмогорова такого не было, так и не надо умножать сущности без надобности.

[_hum_]

ShMaxG в сообщении #470405 писал(а):

Ничего не понял (наверно потому, что никакой я не физик ), очень сложно написали, кроме

Тогда звиняюсь :)

ShMaxG в сообщении #470405 писал(а):

Но раз Вы (как я понимаю) прочитав первый пост в меня ничем не кидаетесь, то ок.

Если имелась в виду мысль

ShMaxG в сообщении #470363 писал(а):

Т.е. для формально верного решения такой задачи (и для решения подобных задач) строится вероятностное пространство $\[\left( {\Omega ,F,P} \right)\]$, для которого распределения $\[{{P_A}}\]$ и $\[{{P_B}}\]$ вероятностных пространств $\[\left( {{\Omega _A},{F_A},{P_A}} \right)\]$ и $\[\left( {{\Omega _B},{F_B},{P_B}} \right)\]$ соответственно являются условными распределениями.

Все верно? Или все гораздо проще?

то да, так и есть. А с самими предложенными вероятностными моделями немного корявенько получилось. В дискретных случаях всегда все стандартно строится
- вероятностная модель интересующего экперимента:

$$(\Omega, \mathcal{F}, P), \text{ где } \Omega = \{\omega = (b_1,b_2), b_1,b_2 \in \{0,1\}\}, \mathcal{F} = 2^\Omega, P(E) = \sum_{\omega \in E}p_\omega\, , E\in \mathcal{F},$$

которая для полного задания требует указания набора каких-то неотрицательных чисел $p_\omega, \omega \in \Omega$, дающих в сумме единицу (они соответствуют вероятностям элементарных событий $p_\omega = P(\{\omega\})$; кстати, обратите внимание, что исход $\omega \in \Omega$ и элементарное событие $\{\omega\}\in \mathcal{F}$ это не одно и то же). В этой модели по условиям задачи и по построению можно считать, что вам извеcтны значения $P(A) = p_{(0,0)} + p_{(0,1)}$ и $P(B) = p_{(1,0)} + p_{(1,1)}$. А надо вычилить $P(C) = p_{(0,1)} + p_{(1,1)}$.
- условная вероятностная модель

$$(\Omega_{|A}, \mathcal{F}_{|A}, P_{|A}), \text{ где } \Omega_{|A} = \Omega\cap A, \mathcal{F}_{|A} = \mathcal{F}\cap A, P_{|A}(E) = P(EA)/P(A),$$

которая, как постулируется решающим задачу, изоморфна модели эксперимента по сдаче экзамена конкретному преподу

$$(\Omega^{(*)}, \mathcal{F}^{(*)}, P^{(*)}), \text{ где } \Omega^{(*)} = \{\omega^{(*)} = b, b \in \{0,1\}\}, \mathcal{F}^{(*)} = 2^{\Omega^{(*)}}, P^{(*)}(E^{(*)}) = \sum_{\omega^{(*)}\in E^{(*)}}p_{\omega^{(*)}}, E^{(*)}\in \mathcal{F}^{(*)},$$

Посдледняя модель по условию задачи у вас полностью определена, поскольку известны значения $p_{\omega^{(*)}}$ вероятностей всех элементарных событий (сдачи и не сдачи данному преподу).

Тогда схему решения можно представить след. образом:
1) расписываем из чисто теоретико-множественных соображений:

$$P(C) = P((A\sqcup B)C) = P(AC\sqcup BC) = P(AC) + P(BC).$$

2) пытаемся выразить через вероятности условных моделей:

$$P(AC) = P(A)P_{|A}(C),\, P(BC) = P(B)P_{|B}(C).$$

3) пользуясь изоморфизмом $(\Omega_{|A}, \mathcal{F}_{|A}, P_{|A}) \simeq (\Omega^{(*)}, \mathcal{F}^{(*)}, P^{(*)})$, выясняем неизвестные значения $P_{|A}(C), P_{|B}(C)$.
Все. Все неизвестные для расчета $P(C)$ найдены. Задача решена.

Хорхе в сообщении #470488 писал(а):

Понятно, что все гораздо проще и можно сразу написать формулу полной вероятности. Но уж если буквоедствовать, то следует написать сразу $\Omega$ без $\Omega_A$, $\Omega_B$. А то у Вас получается какой-то каскад вероятностных пространств, причем пара из них из них "условные". У Колмогорова такого не было, так и не надо умножать сущности без надобности.

Не соглашусь. Условная вероятностная модель очень полезное понятие, позволяющее более четко отслеживать корректность задания вероятностей в подобных случаях сложно-составных экспериментов.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #470363 писал(а):

Я хочу ясно себе представить все вероятностные пространства, события, сигма-алгебры и распределения, которые фигурируют в задаче.

"Все" -- понятие очень неопределённое.

Можно говорить о минимальном для данной задачи пространстве:

\Omega=$\{\text{сдал первому, не сдал первому, сдал второму, не сдал второму}\}$

А дальше это пространство можно уж подразбивать как угодно. Например: сдал первому, вставшему с левой ноги; сдал первому, вставшему с правой ноги; ...

[_hum_]

ewert в сообщении #470552 писал(а):

ShMaxG в сообщении #470363 писал(а):

Я хочу ясно себе представить все вероятностные пространства, события, сигма-алгебры и распределения, которые фигурируют в задаче.

"Все" -- понятие очень неопределённое.

Можно говорить о минимальном для данной задачи пространстве:

\Omega=$\{\text{сдал первому, не сдал первому, сдал второму, не сдал второму}\}$

А дальше это пространство можно уж подразбивать как угодно. Например: сдал первому, вставшему с левой ноги; сдал первому, вставшему с правой ноги; ...

:)
понятие "минимальное" тоже надо уточнить, ибо под эту категорию подходит и еще более грубое
$\Omega = \{\text{сдал}, \text{не сдал}\}.$

По-видимому, речь шла о необходимом наборе вероятностных моделей, рассмотрение которых позволяет воспользоваться имеющимися в условии задачи данными и рассчитать требуемую вероятность.

[ShMaxG]

_hum_

Спасибо! Да, мы думаем об одном и том же, но Вы -- более аккуратно.