Полный разбор парадокса Рассела

[dydx]

Многие думают, что парадокс Рассела делает наивную теорию множеств Кантора непригодной. Это абсолютно неверная точка зрения. На самом деле, этот парадокс касается только аксиоматики Фреге, которая содержит следующую аксиому:

$$\exists K(x\in K \leftrightarrow \varphi[x]).$$

Рассел заметил, что если взять в этой аксиоме в качестве $\varphi[x]$ предикат $x \not\in x$, то мы придем к противоречию, если попытаемся выяснить истинностное значение высказывания $\varphi[K]$. Таким образом, именно неверное понимание наивной теории множеств самим Фреге привело к парадоксам.
Теперь я расскажу о способах, которые помогают избавиться от парадокса Рассела. Есть всего два возможных пути. Первый, и самый очевидный, путь -- это исключить из теории объекты вроде "множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента". Второй, и совсем не очевидный, путь -- оставить их.
По первому пути пошли создатели аксиоматики $\text{ZFC}$. Не буду на этой $\text{ZFC}$ подробно останавливаться, потому что все о ней итак знаю (потому что попса (шутка)). По второму пути пошли создатели аксиоматики $\text{NBG}$. Они создали два рода объектов -- множества и классы. Класс всех множеств без всяких противоречий может существовать в этой аксиоматике. Тоже попса и тоже неинтересно.
Как еще можно избавиться от парадокса Рассела?
Можно залезть в саму логику, сделать ее более чем двузначной, например, трехзначной. И теперь мы можем дать третье значение высказыванию $\varphi[K]$, отличное от истины и лжи. Еще можно создать теорию нечетких множеств, в которой отношение $\in$ может принимать значения на отрезке $(0,1)$.
Предлагаю здесь обсудить все эти способы "уничтожения" парадокса Рассела, в частности, почему одни из них более популярны, а другие менее, какие из них лучше, а какие хуже. Мне еще было бы интересно узнать о других нестандартных способах.

[epros]

dydx в сообщении #469610 писал(а):

Можно залезть в саму логику, сделать ее более чем двузначной, например, трехзначной. И теперь мы можем дать третье значение высказыванию $\varphi[K]$, отличное от истины и лжи. Еще можно создать теорию нечетких множеств, в которой отношение $\in$ может принимать значения на отрезке $(0,1)$.

Никакая многозначная логика, включая логику с континуумом значений (типа fuzzy или вероятностной) не избавит от этого парадокса. Всё равно $K \in K \leftrightarrow K \notin K$ будет выводимо в этой логике из указанной Вами аксиомы.

[anik]

От парадокса Рассела можно избавиться, если убрать чёрточку снизу в значке отношения включения, которую ввели видать «от большого ума».
$B$ есть подмножество множества $A$, если всякий элемент $B$ есть элемент $A$. Для этого обозначения используют запись: $B\subseteq{A}$

Есть множество $A$ учеников 5Б класса, и есть множество $B$ мальчиков 5Б класса. Имеем: если всякий элемент $B$ есть элемент $A$, то $B$ есть подмножество $A$. Подразумевается ли при этом возможность случая, когда в 5Б классе могут быть только мальчики? Разве этот случай противоречит определению подмножества? Зачем это «подразумевание» дополнительно уточнять чёрточкой снизу, как будто мы добавляем дополнительное требование, которому должно удовлетворять отношение включения? Наверное, для того, чтобы потом эту чёрточку можно было убрать, получив тем самым «строгое включение». Наличие этой чёрточки заранее подразумевает наличие строгого и не строгого отношений включения. Строгое включение может быть определено через нестрогое включение, а нестрогое включение определяется независимо от строгого.

Есть ещё одна чёрточка, которую тоже ввели «от большого ума». Это отношение включения для элемента множества. Мы можем рассматривать некоторое множество $B$, либо как подмножество некоторого множества $A$, либо как элемент $b$ этого некоторого множества $A$. Это зависит, скорее всего, от свойства множества $B$ или $b$, но, никак не от свойства отношения включения. Почему же отношение включения в этом случае нужно обозначать по-разному?
Такой пример, (возможно, не слишком удачный). Если мы хотим убить вампира или демона, то мы должны взять серебряную пулю, (простая пуля его не убьёт). Согласитесь, что серебряная пуля отличается от простой, и взята потому, что предназначена для другой цели. Но, чем, скажите, отличается отношение включения $a\in{A}$ от отношения включения $a\subset{A}$, почему они обозначены различными значками?
Если мы изначально под отношением включения будем подразумевать знак $\subset$, а не знак $\subseteq$, то:
Всякое множество содержит самого себя в качестве подмножества.
Всякое подмножество данного множества можно рассматривать как элемент этого множества.
Объединяя эти два высказывания, получаем: всякое множество содержит самого себя в качестве элемента. Другими словами: все множества являются элементами самих себя. Множество множеств не являющихся элементами самих себя – пусто.
Вот в таком понимании отношения включения парадокс Рассела исчезает.

[epros]

anik в сообщении #469800 писал(а):

От парадокса Рассела можно избавиться, если убрать чёрточку снизу в значке отношения включения, которую ввели видать «от большого ума».

Ёлы-палы, anik, Вы исходный пост внимательно читаете? Где там "отношение включения" - с чёрточкой или без? Там приведена аксиома, в которой упоминается только отношение принадлежности ($\in$). И, между прочим, не имеет значение каково именно это отношение. Например, в варианте формулировки этого же парадокса про брадобрея речь идёт об отношении "бреет".

[anik]

Хорошо, давайте назовём отношение включения $\in$ отношением принадлежности, что это изменит? Что Вы можете сказать о наличии чёрточки посередине в отношении $\in$?
Парадокс Рассела и парадокс брадобрея - это различные парадоксы.

[Someone]

anik в сообщении #469817 писал(а):

Хорошо, давайте назовём отношение включения $\in$ отношением принадлежности, что это изменит?

Ну, если Вы не в состоянии понять разницу между множеством и его элементом, то это целиком Ваша проблема. Не думаю, что с этим надо выступать на математическом форуме.

[Jnrty]

Jnrty:

anik блокируется на неделю за злокачественное невежество и распространение лженаучных утверждений.

[anik]

Брить (кого-то) это не отношение, а операция, причём, бинарная. Она подразумевает наличие мастера и клиента. Бриться самому это унарная операция. Это две различные операции. Например, можно усадить кого-либо себе на колени, но невозможно сесть на колени самому себе. (Тоже парадокс?). Брадобрей брал на себя обязательство совершать бинарную операцию. По поводу унарной операции брадобрей обязательств не брал, он может бриться, а может ходить бородатым. Вот здесь и происходит подтасовка понятий. Если он бреется (бреет себя), то это вовсе не означает, что он бреет кого-то. Если я ем, то это не значит, что я кого-то кормлю. Кормить кого-то это бинарная операция.
Если уж так буквально трактовать обязательство брадобрея, то получается, что он обязан брить женщин и детей, они тоже жители деревни и сами себя не бреют. Очевидно, что обязательство брадобрея должно быть как-то осмыслено и точнее определено.
Сформулируем парадокс брадобрея в несколько изменённом виде.
Допустим, при входе в парикмахерскую весит прейскурант, где среди прочих услуг, указано: клиент может побриться сам, заплатив один доллар (сам себя бреет); клиент может обратиться к услугам мастера, заплатив два доллара (сам себя не бреет).
Несмотря на то, что по долгу службы парикмахер обязан побрить того, кто сам себя не бреет, вопрос о том, имеет ли право бриться в этой парикмахерской сам парикмахер, уже не парадоксален.
Может возникнуть вопрос: сколько должен заплатить парикмахер, если он желает побриться в этой парикмахерской? Если парикмахерская принадлежит фирме, то парикмахер обязан заплатить один доллар за расходуемые материалы, здесь он выступает в роли клиента. Как мастер, он сам себе заплатить не может, это глупость, (переложить деньги с одного в кармана в другой, что ли). Плата это бинарная операция.
Уточняйте понятия, и у вас не будет проблем. По-моему, это сказал Декарт.

[ewert]

anik в сообщении #471525 писал(а):

Брить (кого-то) это не отношение, а операция, причём, бинарная.

В таком случае уточните: если Петров бреет Сидорова -- то как фамилия этого бреет?

[epros]

О, прошла неделя бана и опять появился anik.

Если Вы хотите записать в символической форме, что некий $x$ бреет некоего $y$, то можете сделать это, например, так: $x \dagger y$. Надеюсь, у Вас этот значок отношения ("кинжал") никаких возражений не вызывает? А о том, что это отношение именно бинарное, свидетельствует тот факт, что в нём участвуют две переменные - $x$ и $y$.

Если мы хотим сказать, что некий $x$ бреется сам, то должны подставить в это отношение $x$ с обеих сторон: $x \dagger x$. В итоге получим унарное отношение или, говоря иначе, свойство этого самого $x$. Соответственно, если мы хотим сказать, что некий $x$ НЕ бреется сам, то должны добавить отрицание: $\neg (x \dagger x)$ или так: $x \not{\dagger} x$ (сокращённая запись того же самого).

Попробуйте теперь записать в символической форме утверждение о том, что некий $y$ бреет всех тех и только тех $x$, которые не бреются сами. Если чуть напряжётесь, то получите: $\forall x ~ (y \dagger x \leftrightarrow x \not{\dagger} x)$. Это свойство данного $y$. Догадываетесь почему? Потому что $y$ - это единственная свободная переменная данной формулы.

Знаете, когда возникает парадокс? Когда мы закладываем в качестве аксиомы, что такой $y$ существует: $\exists y \forall x ~ (y \dagger x \leftrightarrow x \not{\dagger} x)$.

Подумайте теперь, что изменится, если вместо значка $\dagger$ отношения "бреет" мы подставим в эту формулу значок $\in$ отношения "принадлежит" (точнее, чтобы получился именно парадокс Рассела, нужно поставить значок принадлежности в обратном направлении: $\ni$).

[Лукомор]

epros в сообщении #471532 писал(а):

Знаете, когда возникает парадокс?

Знаете, когда не возникает парадокс?
1. Парадокс не возникает, когда мы не требуем, чтобы брадобрей брил поголовно и принудительно всех, кто не бреется сам, а только тех, кто бреется у брадобрея.
Вполне могут существовать островитяне (в их число может входить и брадобрей), которые не бреются сами, и не бреются у брадобрея, т.е. носят бороды.
2. Парадокс не возникает, когда на острове два брадобрея.
Тогда брадобрей №1 бреет брадобрея №2, который не бреется сам.
Соответственно, брадобрей №2 бреет брадобрея №1, который не бреется сам.

[vek88]

dydx в сообщении #469610 писал(а):

Можно залезть в саму логику, сделать ее более чем двузначной, например, трехзначной. И теперь мы можем дать третье значение высказыванию , отличное от истины и лжи. Еще можно создать теорию нечетких множеств, в которой отношение может принимать значения на отрезке .
Предлагаю здесь обсудить все эти способы "уничтожения" парадокса Рассела, в частности, почему одни из них более популярны, а другие менее, какие из них лучше, а какие хуже. Мне еще было бы интересно узнать о других нестандартных способах.

dydx

Согласен. Именно это предлагается в К-системах. См. post284210.html#p284210. И парадокс Рассела в теме Основания математики - элементарное рассмотрение рассмотрен неоднократно.

Где-то ИМХО был опубликован вариант fuzzy К-систем, но не могу вспомнить.

epros в сообщении #469799 писал(а):

Никакая многозначная логика, включая логику с континуумом значений (типа fuzzy или вероятностной) не избавит от этого парадокса. Всё равно $K \in K \leftrightarrow K \notin K$ будет выводимо в этой логике из указанной Вами аксиомы.

epros

Ну Вы сказали. В К-системах именно многозначная логика избавляет от этого парадокса. В том смысле, что выводимо это будет, но будет лишь означать неразрешимость $K \in K$.

[anik]

ewert в сообщении #471526 писал(а):

anik в сообщении #471525 писал(а):

Брить (кого-то) это не отношение, а операция, причём, бинарная.

В таком случае уточните: если Петров бреет Сидорова -- то как фамилия этого бреет?

Что Вы мне фуфайку в ухо толкаете. Вы не знаете чем отличается отношение от операции? Операция изменяет операнды, а отношение - нет. Если Петров и Сидоров студенты, то "студент" это отношение. Отношение "студент" имеет имя (а не фамилию) "студент". Если Петров бреет Сидорова, то "бреет" это операция, в результате которой Сидоров становится побритым. Если 4>2, то это отношение строгого порядка, если 4+2, то это операция сложения, в результате которой получается 6.

[ewert]

anik в сообщении #471548 писал(а):

Вы не знаете чем отличается отношение от операции?

Хотелось бы от Вас услышать. Что такое отношение и что такое операция?...

Только умоляю:

anik в сообщении #471548 писал(а):

Операция изменяет операнды,

-- никогда, никому этого не говорите! Вас не поймут.

[anik]

Лукомор в сообщении #471537 писал(а):

epros в сообщении #471532 писал(а):

Знаете, когда возникает парадокс?

Знаете, когда не возникает парадокс?
2. Парадокс не возникает, когда на острове два брадобрея.
Тогда брадобрей №1 бреет брадобрея №2, который не бреется сам.
Соответственно, брадобрей №2 бреет брадобрея №1, который не бреется сам.

А если на острове 100 брадобреев, то пронумеруем их. Тогда первый бреет второго, второй третьего,... а сотый бреет первого. Но это ведь совсем о другом речь, (не по теме) Вам не кажется?

-- Ср июл 27, 2011 21:51:53 --

ewert в сообщении #471552 писал(а):

anik в сообщении #471548 писал(а):

Вы не знаете чем отличается отношение от операции?

Хотелось бы от Вас услышать. Что такое отношение и что такое операция?...
Только умоляю:

anik в сообщении #471548 писал(а):

Операция изменяет операнды,

-- никогда, никому этого не говорите! Вас не поймут.

Например, в Ассемблере: add r1,r2 ; это операция сложения. Если в регистр r2 записать 4, а в регистр r1 записать 2, то в результате выполнения этой операции в регистре r1 окажется 6, а регистр r2 не изменится, там будет 4. Здесь в результате операции операнды изменились. У операции есть результат операции, а у отношения нет результата отношения.
А вообще, понятия отношения и операции не определяются, возможно они первичные.

-- Ср июл 27, 2011 22:23:03 --

epros в сообщении #471532 писал(а):

Если мы хотим сказать, что некий $x$ бреется сам, то должны подставить в это отношение $x$ с обеих сторон: $x \dagger x$. В итоге получим унарное отношение или, говоря иначе, свойство этого самого $x$.

Мы можем подставить $x$ с обеих сторон, если отношение $x \dagger x$ рефлексивно. Что-то "отношение" брить (кого-то) не похоже на рефлексивное, оно скорее всего антирефлексивное. Если Петров бреет Иванова, то это не означает, так же, что Иванов бреет Петрова. Если же "отношение" бриться рефлексивно, то это значит, что это совсем другое "отношение", нежели брить.