Помогите разобраться с парадоксом (голубоглазые островитяне)

[anik]

Профессор Снэйп в сообщении #449398 писал(а):

О, один из любимых парадоксов!!! Хотя про "повешенного" больше нравится.

На форуме НГУ разжёвано дальше некуда. См. здесь (вся тема с начала), после долгих непоняток и затупов объяснение было найдено в этом сообщении.

Цитирую часть сообщения: в этом сообщении
"Рассмотрим ещё раз ситуацию с тремя голубоглазыми (ситуация с двумя, насколько я понял, не вызывает трудностей). Итак, пусть в племени три туземца с голубыми глазами. Допустим, их зовут Джон, Джек и Гарри. До приезда путешественника

1) Джон знает, что у Джека и Гарри голубые глаза.
2) Джон знает, что Джек знает, что у Гарри голубые глаза.
3) Гарри знает, что у Джека голубые глаза.
4) Джон не знает, знает ли Джек о том, что Гарри знает, что в племени есть хотя бы один голубоглазый туземец.

Вот именно так. Гарри знает, и Джон знает о том, что Гарри знает. Джек тоже знает, и знает о том, что Гарри знает. Но Джон не знает про то, что о том, что Гарри знает, известно также и Джеку.

После того, как путешественник произнёс свою речь, Джон узнаёт о том, что Джеку тоже стало известно про то, что знает Гарри, поскольку он видел, как во время речи Джек присутствовал на собрании и видел, как Гарри стоял и слушал слова путешественника. Ситуация изменилась, вы не находите? Никто не получил новой информации, касающейся наличия или отсутствия на острове туземцев с определённым цветом глаз. Но Джон, Джек и Гарри получили информацию о том, что каждый другой слышал, как эту информацию влили в уши третьего." Конец цитаты.

Возникает впечатление, что глаза у трёх голубоглазых не связаны с мозгом, а вот уши – связаны, т.к. несмотря на то, что каждый житель острова собственными глазами видит, что на острове есть, по крайней мере, один голубоглазый, им эту информацию нужно «влить через уши», чтобы это дошло до их сознания.
В этой задаче весьма существенно условие: знали ли жители острова о том, что среди них есть голубоглазые и есть кареглазые.
Если они это знали, то информация путешественника ничего нового не привнесла и никаким толчком к размышлению быть не могла.
Теперь вопрос нужно поставить так: при каком минимальном количестве голубоглазых эта информация может быть получена путём логических рассуждений и наблюдений, без всякой информации извне.
1. Если на острове голубоглазых вообще нет, то об этом никто не знает, т.к. каждый может думать, что голубоглазый именно он. (Но может думать, что он кареглазый).
Путешественник не может сообщить о том, что встретил голубоглазого. А если он соврёт, то эта ложь разоблачится на второй день, когда на площади соберутся все кареглазые, чтобы покончить собой, потому, что каждый из них будет думать что он голубоглазый. Но отсюда сразу следует, что все догадаются, что они кареглазые (а не голубоглазые, как думали до того), и на третий день произойдёт массовый суицид кареглазых. В этом случае, слова путешественника можно принять за точку отсчёта.
2. Если голубоглазый один, то он об этом никогда не узнает, т.к. ему никто об этом не скажет. Но, кареглазые будут знать, что существует, по крайней мере, один голубоглазый.
Путешественник сообщил о том, что встретил голубоглазого. В этом случае, кареглазые знают о том, какого голубоглазого путешественник мог иметь в виду, но каждый, тем не менее, может подозревать себя. А вот голубоглазый сразу себя вычислит, потому, что он видит только кареглазых и голубоглазым, стало быть, может остаться только он сам. После того, как он на второй день покончит собой, кареглазые поймут, что среди них нет голубоглазых, и тоже покончат собой на третий день.
3. Если голубоглазых двое, то они знают, что на острове есть, по крайней мере, один голубоглазый, а кареглазые знают, что существуют, по крайней мере, двое голубоглазых.
Итак, если голубоглазых двое, то уже все знают, что на острове есть хотя бы один голубоглазый, но не все знают, что голубоглазых двое. Сообщает ли в этом случае путешественник новую информацию? Очевидно, нет! Вот в этом и заключается парадокс. Если окажется, что в результате сообщения путешественника (в случае двух голубоглазых) что-то изменилось, то уже нужно искать ошибку в нашей логике.

В случае, когда голубоглазых двое, каждый житель острова должен делать предположения о цвете своих глаз и о количестве голубоглазых.
Давайте представим такие варианты рассуждений:
А). Я житель острова, и предполагаю, что я голубоглазый. Обязан ли я в этом случае предположить, что голубоглазых двое, т.к. я одного вижу? Да, обязан, иначе моё предположение будет фальшивым. Я пойду на площадь, если докажу, что голубоглазых двое. Одного предположения А) недостаточно.
Б). Я предполагаю, что я кареглазый. Обязан ли я в этом случае предположить, что есть только один голубоглазый, которого я вижу? Да, обязан. Иначе, моё предположение будет фальшивым. Но, позвольте, ведь мы уже рассматриваем случай с двумя голубоглазыми? В этом случае моё предположение не соответствует действительности, оно ложно! Но, как житель острова, я об этом не знаю, потому, что не знаю цвет своих глаз. Если бы я на самом деле был кареглазый, то видел бы двоих голубоглазых.
Если я на самом деле умный житель этого несчастного острова (как это сказано в условиях), то кто мне запретит анализировать ситуацию не только с точки зрения своего эго, но и с объективной точки зрения?
Итак, как житель острова я поставлен перед фактом: я наблюдаю одного голубоглазого, но не знаю, с каким случаем имею дело. Либо на острове один голубоглазый, либо на острове два голубоглазых. Слова путешественника, что он видел одного голубоглазого, не способны разрешить эту дилемму в случае наличия двух голубоглазых.
Напомню, в случае, когда голубоглазый был один, он видел только кареглазых.

[anik]

Объективная позиция заключается в следующих посылках:
1. Если каждый житель острова видит, по крайней мере, одного голубоглазого, то путешественник, сказав то, что видел одного голубоглазого, никакой новой информации не добавил.
2. Если рассуждать с точки зрения, что на острове есть двое голубоглазых, то не нужно менять эту позицию, нужно последовательно придерживаться этой точке зрения.
3. От того, что какой-то житель острова предположил, что у него голубые (карие) глаза, то из этого предположения вовсе не должно следовать, что его глаза стали на самом деле голубыми (карими).
Если наше доказательство непосредственно опирается на тот факт, что путешественник внес новую информацию, то такое «доказательство» (в случае двоих голубоглазых) следует признать неправильным, т.к. оно противоречит пункту 1.
Теперь рассмотрим такую субъективную позицию. Я, житель острова, вижу одного голубоглазого и не знаю, какой случай имеется на самом деле: голубоглазый один (тогда я кареглазый), или нас двое (тогда я голубоглазый)? Если голубоглазый один (то это не я), то слова путешественника имеют значение, если нас двое – то не имеют. Если после слов путешественника, на второй день голубоглазый пришёл на площадь, значит, он был один, тогда я кареглазый. Если не пришёл, значит, мы вдвоём придём на площадь на третий день.
Получается, что после слов путешественника я на третий день приду на площадь либо как кареглазый, либо как голубоглазый! Да… весьма интересно получается.

Рассмотрим такую ситуацию: Я, житель острова, вижу двоих голубоглазых и не знаю, какой случай имеется на самом деле: голубоглазых двое (тогда я кареглазый), или нас трое (тогда я голубоглазый)? Если голубоглазых двое (то это не я), то имеют ли значение слова путешественника?
Итак, я (предположительно) кареглазый и вижу двоих голубоглазых. Если в этом предположении у меня действительно глаза стали бы карие, то мы пришли бы к предыдущему случаю, и так далее по цепочке в обратном порядке. Но если, всё-таки у меня глаза голубые (что вполне возможно), то обратную цепочку строить неправомерно. Таким образом, мы не можем придти к случаю одного голубоглазого, когда слова путешественника стали бы существенны и несли новую информацию.
Ура! Я спас жителей острова!

[anik]

Наверное, меня не поняли или проигнорировали, т.к. народ молчит. Согласен с тем, что мои рассуждения вначале путаны и противоречивы, но в конце я всё-таки сделал правильный вывод. Попытаюсь объяснить более доходчиво.
Основных положений, на которых строятся рассуждения, два: в случае, когда голубоглазых много, (например, десять) слова путешественника никакой новой информации не несут, и второе; оттого, что девять голубоглазых представили себе одновременно, что они кареглазые, они не стали таковыми на самом деле.
Давайте внимательно проследим рассуждения третьего и второго голубоглазых, в случае, когда голубоглазых трое. Мы заметим, что рассуждения второго голубоглазого будут другими, если голубоглазых четверо.
1. Голубоглазых трое. Третий голубоглазый рассуждает так: я вижу двоих голубоглазых, но не знаю какого цвета у меня глаза. Допустим, что я кареглазый, тогда второй голубоглазый видит только одного голубоглазого. В этом случае второй голубоглазый рассуждает так: если я кареглазый, то первый голубоглазый один, (остальные кареглазые), тогда после слов путешественника первый голубоглазый на второй день должен придти на площадь. Но первый голубоглазый не пришёл на площадь на второй день, следовательно он видел другого голубоглазого, т.е. меня (второго). Тогда второй голубоглазый делает вывод, что он в действительности голубоглазый. Отсюда следует, что на третий день на площадь придут двое голубоглазых. Если же на третий день двое голубоглазых не пришли на площадь, то третий голубоглазый делает вывод, что он действительно голубоглазый, и придёт на площадь на четвёртый день вместе с двумя другими голубоглазыми. Они придут втроём, потому, что картина симметрична, каждый из троих голубоглазых будут рассуждать одинаково (с позиции третьего голубоглазого).
2. Голубоглазых четверо. Четвёртый голубоглазый рассуждает так: я вижу троих голубоглазых, но не знаю какого цвета у меня глаза. Допустим, что я кареглазый, тогда третий голубоглазый видит только двоих голубоглазых. В этом случае второй голубоглазый должен рассуждать так: если я кареглазый, то первый голубоглазый один? (Это, по мнению «вышестоящих» голубоглазых). Второй не может так рассуждать, потому что видит перед собой троих (по крайней мере двоих) голубоглазых.
Почему мы в нашей цепочке рассуждений должны придти к случаю, когда останутся только двое голубоглазых, и каждый из них должен видеть только одного, хотя по условию каждый голубоглазый видит перед собой троих? Почему второй голубоглазый должен рассуждать именно как второй, а не как четвёртый, с которого и начались рассуждения во втором пункте?
От того, что двое из четверых голубоглазых представили себе одновременно, что у них карие глаза, их глаза не могут стать одновременно карими без действительного уменьшения численности голубоглазых. Следовательно, в случае четверых голубоглазых вычислить цвет глаз невозможно, несмотря на то, что там сказал путешественник.
Люди! Прокомментируйте кто-нибудь, а то обратная связь потерялась.

[Gortaur]

anik
Народ молчит видимо потому, что. А неохота за народ говорить. Наверное, думают что Вам меньше 20ти.

Я завтра прочитаю Ваши посты подробнее и тогда отвечу.

-- Вт авг 16, 2011 23:23:15 --

Про троих Вы точно рассудили.

Про 4х. Образ мысли такой: каждый знает, что голубоглазых как минимум трое. Весь вопрос в том, трое их или четверо. Если голубоглазых трое, то Ваше решение не зависит от числа кареглазых и применимо и в данном случае, как итог по Вашему же решению, на третий день трое придут на площадь.

Таким образом, на утро четвертого дня все голубоглазые осознали, что голубоглазых не трое (иначе бы они пришли на площадь), а четверо (потому что больше вариантов нет). Так что каждый из них понял, что он голубоглазый.

[anik]

Уважаемый Gortaur, благодарен за то, что Вы мне ответили.

Gortaur в сообщении #475723 писал(а):

Если голубоглазых трое, то Ваше решение не зависит от числа кареглазых и применимо и в данном случае, как итог по Вашему же решению, на третий день трое придут на площадь.

По поводу того, что решение не зависит от числа кареглазых, я не согласен.
Давайте упростим ситуацию. Допустим, на острове только четверо голубоглазых, а кареглазых нет вообще. Каждый может думать, что кареглазый именно он. Но, в то же время он должен осознавать, что кареглазый на острове может быть только один – он сам,
(потому, что он не видит кареглазых вообще).
Теперь, как, по мнению четвёртого голубоглазого, должен рассуждать третий голубоглазый? Может ли третий голубоглазый представлять себе, что он кареглазый? Может, но не при условии, что четвёртый уже представил себе, что он кареглазый. Если четвёртый представил себе что он кареглазый, то этот же четвёртый знает, что предположение третьего голубоглазого о том, что он кареглазый – ложно, иначе четвёртый видел бы одного кареглазого.
Давайте мысленно попробуем рассуждать сразу с позиции третьего голубоглазого. Третий голубоглазый видит одного кареглазого (это четвёртый голубоглазый, который прикинулся кареглазым), Теперь третий, в свою очередь, должен думать, а какой цвет моих глаз? Но, позвольте! От того, что один из голубоглазых стал называться третьим, не следует, что он теперь видит одного кареглазого.
Нельзя эту задачу свести к ситуации с двумя голубоглазыми (и двумя кареглазыми), когда слова путешественника стали бы существенны.

[В.О.]

anik в сообщении #475763 писал(а):

это четвёртый голубоглазый, который прикинулся кареглазым

Ой.
Почему-то вспомнился Жванецкий: -Это ты убил кассира Сидорова...Убийца!

Люди, милые-дорогие, прежде чем писать длинные путанные рассуждения, постарайтесь понять простую вещь. Комментарий о том, что гость не сообщил новой информации это, ткскзть, художественное усиление эффекта. Сообщил он информацию, сообщил. Но только сообщенное это знание - второго порядка. А именно, знание о том, что и все другие теперь знают...

[anik]

В.О. в сообщении #475770 писал(а):

Сообщил он информацию, сообщил. Но только сообщенное это знание - второго порядка. А именно, знание о том, что и все другие теперь знают...

Что же Вы не дописали?
О чём же "все другие теперь знают", о том, что они и раньше знали, что на острове есть голубоглазые?

[В.О.]

anik в сообщении #475785 писал(а):

они и раньше знали, что на острове есть голубоглазые

Ошибаетесь. Если на острове Г+К, то Г не знает, что на острове есть голубоглазые.

[anik]

В.О. в сообщении #475786 писал(а):

Ошибаетесь. Если на острове Г+К, то Г не знает, что на острове есть голубоглазые.

Ваш контраргумент слишком примитивный. Именно в этом случае слова гостя будут существенны, после них Г узнает, что на острове есть голубоглазые.
Я тоже вспомнил Жванецкого. Несмотря на то, что Петров уполномоченный показывал удостоверение, фотографию и родинку, Сидоров кассир ему не верил, и твердил одно и тоже: а чем вы докажете, что это ваша родинка?

[В.О.]

Эээ...насчет степени примитивности это уж Вы сами решайте. Но то, что он верный это 100% Вижу
, что Вы заходите на новый виток путанницы. Извините, это уже без меня.

[anik]

Даже в случае с тремя голубоглазыми, все наши предыдущие рассуждения были ошибочными.
Условие задачи сформулируем так: на острове всего три жителя, причём, один из жителей этого острова А видит двоих голубоглазых и не знает цвет своих глаз. Может ли этот житель вычислить цвет своих глаз, если гость сказал, что на острове есть голубоглазый?
1. Житель А предполагает, что он кареглазый. Это предположение не противоречит тому, что он видит двоих голубоглазых, поэтому такое предположение допустимо (он в действительности может быть кареглазым). Тогда, голубоглазый, (всё равно, какой из оставшихся двоих) должен видеть перед собой одного голубоглазого и одного кареглазого (т.е. самого жителя А). Имеют ли на этом этапе слова гостя какое-либо значение? Нет, потому, что голубоглазый сам видит перед собой одного голубоглазого.
Может ли теперь голубоглазый предполагать, что он в свою очередь тоже кареглазый (при условии, что А кареглазый)? предполагать может, но стать кареглазым он не может (с точки зрения А), т.к. А видел бы тогда одного кареглазого и одного голубоглазого, но А видит двоих голубоглазых по условию задачи! Поэтому, предположение голубоглазого о том, что он кареглазый, (при условии, что А тоже кареглазый и А видит двоих голубоглазых), недопустимо с точки зрения жителя А (это противоречило бы условиям задачи). Следовательно, мы не можем придти к случаю, когда на острове два кареглазых и один голубоглазый т.е. к случаю когда слова гостя стали бы существенны, (а наши рассуждения строились на отрицании предположения, которого в принципе не может существовать).
Голубоглазый может предполагать, что он кареглазый независимо от жителя А. Но, тогда рассуждения нужно начинать с точки зрения этого голубоглазого ( он, естественно не знает, что он голубоглазый, об этом знал только житель А), и он теперь сам будет выступать в роли жителя А не знающего цвета своих глаз, и мы вернемся на круги своя, т.е. к начальным условиям задачи.

Я привёл эти рассуждения в очень слабой надежде, что меня кто-нибудь захочет понять, и, тем более что кто-нибудь поймёт. Тут как в парадоксе Монти Холла, есть половина людей, которые считают, что своё решение не нужно менять после того, как ведущий откроет двери, и никакими силами этих людей не переубедить.

[lasta]

Если учесть все условия задачи- остров, числа 100 и 900, а также,жестокость религии (вся информация не лишняя)
и кому это выгодно, то возможен третий вариант исхода. Все догадываются о цвете своих глаз, но массового суицида не будет.
Весь остров провожает путешественника. Смотрят на цвет его глаз. Голубоглазые мыслят,- вот жил бы он на острове и голубоглазых было бы 100, а не 99 как вижу я, как раз по одному на 100 наших лодок. Кареоглазые думают, вот жил бы он на острове и кареоглазых было бы 900, а не 899 как вижу я. Как раз бы по 9 кареоглазых на наши 100 лодок. Туземцы мыслят конкретно, высшего образования у них нет. И тут путешественник говорит, что встретил голубоглазого, все вздрогнули. Вдруг он скажет конкретно кого. Мысли заработали. Но, он не сказал конкретно кого и отлегло.
Но, облегчение только усилило поток мыслей. И голубоглазые думают, а кто сказал, что голубоглазых 99, - значит сотый это я. И они входят в ступор и никакая индукция их из этого уже не выведет. Креоглазые думает, а кто сказал, что кареоглазых 899, значит 900 - это я и тоже входят в ступор. Если это так, то третий вариант....

[anik]

lasta в сообщении #476519 писал(а):

Голубоглазые мыслят,- вот жил бы он на острове и голубоглазых было бы 100, а не 99 как вижу я, как раз по одному на 100 наших лодок.

Немного не так: вот жил бы он на острове и я видел бы 100 голубоглазых, а не 99. Такая ситуация возможна, если путешественник сам голубоглазый.

lasta в сообщении #476519 писал(а):

Кареоглазые думают, вот жил бы он на острове и кареоглазых было бы 900, а не 899 как вижу я.

Здесь тоже должно быть так: вот жил бы он на острове и я видел бы 900 кареглазых, а не 899. Так думали бы кареглазые, если бы путешественник был тоже кареглазым.
Но, путешественник не может быть голубоглазым и кареглазым одновременно.
Может быть, что тут я не понял, и Вы хотите эти два варианта рассматривать отдельно?

lasta в сообщении #476519 писал(а):

Но, облегчение только усилило поток мыслей. И голубоглазые думают, а кто сказал, что голубоглазых 99, - значит сотый это я.

Дело в том, что никто никому не говорил, что голубоглазых 99. В этом может любой голубоглазый убедиться непосредственно, если он не слепой и умеет считать до ста. (О том что голубоглазых 100 сказано в условии задачи, но никто на острове не знает точной численности голубоглазых или кареглазых, иначе они немедленно вычислили бы цвет своих глаз).

[lasta]

Вы правы. Кареглазые думают, - Вот жил бы он на острове и был бы кареглазым (далее по тексту)

По счету людей по цвету глаз вопрос чисто математический, но не практический. Я не дальтоник, но не знаю какого цвета глаза даже у своих родственников. Но у нас и нет такой проблемы. Вопрос жизни и смерти. Практически, вряд ли туземцы бы стали высчитывать, какого цвета у них глаза, то есть прорубать себе дорогу к суициду.

[anik]

Анализ «решения» парадокса голубоглазых.
Допустим, на острове $m$ жителей, из которых $n$ - голубоглазые. Если кареглазый объявит всем жителям, что он видит $n$ голубоглазых, то все жители смогут вычислить цвет своих глаз, кроме жителя, который сделал своё объявление. Если голубоглазый объявит всем жителям, что он видит $n-1$ голубоглазых (или $m-n$ кареглазых), то результат будет таким же.
Короче, если какой-нибудь житель всенародно объявит, сколько он видит голубоглазых или кареглазых, то все жители узнают цвет своих глаз, кроме жителя, который сделал это объявление. Если же аналогичное объявление сделают два жителя острова, то уже все жители будут знать цвет своих глаз.
Предположим, теперь, что у жителей острова есть Интернет, и они знают о решении своей задачи из форума dxdy. В соответствии с этим решением, каждый голубоглазый должен отсчитать столько дней (от даты отсчёта), сколько голубоглазых он сам видит, и на $n$-й день придти на площадь, чтобы покончить с жизнью. Не кажется ли Вам, господа, что приход голубоглазых на площадь на $n$-й день, равносилен их объявлению о том, что каждый из них видит $n-1$ голубоглазых. Но ведь религия не обязывает их тем или иным образом извещать всех о том, сколько голубоглазых (или кареглазых) видит каждый из них.
Теперь, по поводу слов гостя. Неважно, что гость сказал, что он видел голубоглазых или кареглазых (не уточняя их количества), важно то, что слова гостя могут быть приняты за дату отсчёта количества дней. Однако никакого предварительного соглашения о дате отсчёта не было, и из слов гостя тоже явно не следует, что его слова необходимо принять за дату отсчёта.
Если на $n$-й день никто не придёт на площадь, то никто так и не узнает цвет своих глаз, и каноны религии не будут нарушены. Ведь если нет даты отсчёта, то и непонятно когда нужно придти на площадь.