Вопрос распадается на два подвопроса:
1. Действительно ли формулы "сокращённого умножения" сокращают число операций умножения и вообще вычислительную работу?
- Нет, сейчас они применяются для упрощения выражений.
2. А отчего они так называются (сюда же поиски "сакральности" - чем ещё, кроме мистики, объяснить таинственное название, не соответствующее реальному употреблению)?
- По историческим причинам. Некогда они получили такое название оттого, что позволяли упростить вычислительную работу. И сохранили название по традиции. Это было в то время, когда умножали на бумажке в столбик, и единственный способ сократить работу - было употреблять таблицы. Наряду с переходом к логарифмам (где обращений к таблицам для единственного умножения потребно три, и ещё нужно сложить - но всё равно было быстрее, чем в столбик!) умножали и через таблицы квадратов, кубов и т.п. Например, пользовались тождеством
, пользуясь таблицами квадратов или же квадратов, делённых на четыре (последнее издание таких таблиц было в 1960-х, по крайней мере более поздних я не видел). Опять же - два обращения к таблице и три сложения были быстрее, чем одно умножение в столбик. С появлением настольных ВМ (сперва арифмометров, потом электромеханических "Мерседесов" и им подобных, затем и чисто электронных) потребность снижалась, пока калькуляторы, доступные и простые, не свели сложность умножения к простому вводу чисел. А название тождеств, использовавшихся, в частности, для вывода упрощающих средств умножения, сохранилось.
![$\[
{\text{z}}^{\text{n}} \pm {\text{y}}^{\text{n}}
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d63922ef8fa9e6c9b0f7aab2e44a2f2c82.png "$\[
{\text{z}}^{\text{n}} \pm {\text{y}}^{\text{n}}
\]$")
![$$\[{\text{z}}^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} = {\text{z}}^{\text{n}} - ({\text{z}} - {\text{r}})^{\text{n}} =
\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/3/88382999dbfcf562ef5ae7bb7193ecaf82.png "$$\[{\text{z}}^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} = {\text{z}}^{\text{n}} - ({\text{z}} - {\text{r}})^{\text{n}} =
\]$$")
![$$\[
= {\text{z}}^{\text{n}} - \left[ {\left( {_0^{\text{n}} } \right){\text{z}}^{\text{n}} - \left( {_1^{\text{n}} } \right){\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} {\text{r}} + \left( {_2^{\text{n}} } \right){\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} {\text{r}}^{\text{2}} - \cdot \cdot \cdot + \left( {_{{\text{n - 1}}}^{\text{n}} } \right){\text{z r}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} - \left( {_{\text{n}}^{\text{n}} } \right){\text{r}}^{\text{n}} } \right],
\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/6/1b678dce4c073407903911605fb0f7e082.png "$$\[
= {\text{z}}^{\text{n}} - \left[ {\left( {_0^{\text{n}} } \right){\text{z}}^{\text{n}} - \left( {_1^{\text{n}} } \right){\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} {\text{r}} + \left( {_2^{\text{n}} } \right){\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} {\text{r}}^{\text{2}} - \cdot \cdot \cdot + \left( {_{{\text{n - 1}}}^{\text{n}} } \right){\text{z r}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} - \left( {_{\text{n}}^{\text{n}} } \right){\text{r}}^{\text{n}} } \right],
\]$$")
имеем:![$$\[
{\text{z}}^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} = ({\text{z}} - {\text{y}})\left[ {{\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} {\text{y}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{3}}} {\text{y}}^{\text{2}} + \cdot \cdot \cdot + {\text{zy}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} + {\text{y}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} } \right].
\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/4/6947f88bd4aaef15ed84f479235b7c9382.png "$$\[
{\text{z}}^{\text{n}} - {\text{y}}^{\text{n}} = ({\text{z}} - {\text{y}})\left[ {{\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} {\text{y}} + {\text{z}}^{{\text{n}} - {\text{3}}} {\text{y}}^{\text{2}} + \cdot \cdot \cdot + {\text{zy}}^{{\text{n}} - {\text{2}}} + {\text{y}}^{{\text{n}} - {\text{1}}} } \right].
\]$$")
Вообще хорошо, когда все мысли протекают в голове.