Про странный способ изложения в математических книгах

[ewert]

Полистал начало первого тома. Выглядит довольно легкомысленно. Стремление объяснять всё на пальцах, не вдаваясь в излишние формальности, конечно, вызывает уважение, но вот реализация выглядит не очень продуманной. Иногда складывается впечатление, что автор писал первое пришедшее в голову.

Несколько бросившихся в глаза деталек.

На стр.21 (п.2.1.2) приводятся элементарные арфметические свойства пределов. Начинается всё хорошо: "Перечисленные факты очевидны". Однако дальше "доказательство" совершенно анекдотическим образом растягивается на полстраницы -- за счёт лирики. Которая действительно полезна; только зачем же вставлять её в доказательство-то?... Текст круто выиграл бы, если бы завершающий треугольничек был перенесён в конец первого абзаца, даже без изменения хоть одного слова.

Двух милиционеров он зачем-то обзывает тремя собачками (хотя доказательство само по себе -- вполне разумно) (стр.22).

Критерий Коши (стр.23) описан довольно неряшливо. Конечно, в этом месте ввязываться в обсуждение вещественных чисел действительно неуместно. Однако следовало бы хоть намекнуть на то, что фактически он верен просто по определению вещественного числа.

Стр.28: "Пусть $n_k$ — произвольная расходящаяся последовательность целых чисел. Последовательность $a_{n_k}$ называют подпоследовательностью последовательности $a_n$." Вообще-то термин "расходящаяся последовательность" весьма неудачен; но это, в конце концов, дело вкуса. Гораздо хуже то, что не оговорена монотонность $n_k$, а это время от времени довольно существенно.

На стр.35 содержится совершенно удивительное сообщение о том, что, дескать, "функция $g(x)=\sqrt x$ на интервале $(0;1)$ не является равномерно непрерывной". Тем более удивительное, что непосредственно после этой фразы формулируется теорема Кантора.

Там же: "Ряд, имеющий конечную (бесконечную) сумму, называют сходящимся (расходящимся)". Если в случае с корнем всё ещё можно списать на то, что автор всего лишь зазевался, то эта формулировка попросту неверна.

Стр.37, доказательство признака Коши. Вполне честно доказан для случая сходимости, и ни слова -- про противоположный.

Ну и т.д. Чего-то плотность ляпов высоковата.

[alex1910]

zbl в сообщении #416461 писал(а):

Берём начальные аксиомы и выводим из них строгие следствия.
Откуда взялись аксиомы, почему именно эти аксиомы? -- а просто из соображений экономности и эстетики.

Работу с таким подходом просто проигнорируют, в лучшем случае.
В худшем - закидают ссаными тряпками.

У любой разумной аксиоматической теории аксиомы происходят из какой-то содержательной мотивации. Если читателю теории мотивация непонятна - ему рано заниматься этой теорией, либо она ему не нужна вовсе.

Причем, почти всегда, вначале много лет решают какие-то частные задачи, потом понимают их общее происхождение и строят акс. теорию.

[Nemiroff]

Цитата:

Полистал начало первого тома. Выглядит довольно легкомысленно. Стремление объяснять всё на пальцах, не вдаваясь в излишние формальности, конечно, вызывает уважение, но вот реализация выглядит не очень продуманной. Иногда складывается впечатление, что автор писал первое пришедшее в голову.

Мне кажется, что книги подходят для начального ознакомления: вот будет у меня функан в следующем году, я открыл книжку, прочел, примерно понял, о чем вообще предмет. Потому что строгий учебник может быть сперва слишком тяжел.
А когда предмет уже знаешь, книги выглядят мультяшными.

В 12 томе автор вообще, решая уравнение
$x'+x=e^{-t},$
нашел, что решения уходят в бесконечность на бесконечности.
Или я что-то не понял.

[ewert]

Nemiroff в сообщении #468945 писал(а):

Цитата:

В 12 томе автор вообще, решая уравнение
$x'+x=e^{-t},$
нашел, что решения уходят в бесконечность на бесконечности.

Да уж, случай патологический.

Но независимо от фактических ошибок он разгильдяй: изложение плохо структурировано, и автор не всегда отдаёт себе отчёт в том, что пишет. В 12-м томе это ещё безобидно -- там всего лишь некоторый набор эссе, и можно позволить себе вольности (но не грубые ошибки, как в случае с устойчивостью). Однако при систематическом изложении материала такое недопустимо.

Вот ещё один анекдот. В.Босс формулирует теорему об эквивалентности всех норм в $\mathbb R^n$. И даже уверяет, будто её доказывает (минимум три раза: на стр.85 первого тома "Анализ", на стр.127 третьего тома "Линейная алгебра" и на стр.39 пятого тома "Функциональный анализ", причём одинаково, что уже само по себе выглядит неэстетично). Доказывает якобы ссылкой на теорему Вейерштрасса о максимумах/минимумах непрерывной функции. Но: во-первых, по имени эту теорему не называет; поди догадайся, о чём речь. Во-вторых, непрерывность одной нормы относительно другой нигде у него не доказывается и даже вроде бы не упоминается. И самое главное -- последний дефект не случаен: товарищ даже не догадывается, что взаимная непрерывность норм, в сущности, и есть их эквивалентность, которую он пытается тем самым доказать, исходя из неё самой! Неудивительно, что он не замечает и отсутствия в своём "доказательстве" хоть какой-то связи с конечномерностью пространства.

(Это не означает, что нельзя теорему Вейерштрасса использовать. Можно и даже нужно; только аккуратно, осознавая, что делаешь, и пальчиками попыхтеть придётся. Шарлатанскими размахиваниями руками тут не отделаешься. А не можешь -- вообще обойдись без доказательства, или ограничься лишь эскизом догазательства.)

Нет, разгильдяй, ей-богу.

[Munin]

ewert в сообщении #468900 писал(а):

Полистал начало первого тома.

Как хорошо, что я начало первого тома не листал.

[ewert]

Munin в сообщении #469022 писал(а):

Как хорошо, что я начало первого тома не листал.

Ну а середину (или хоть первую четверть), а?...

Стр.44-45, правило дифференцирования произведения. Нет, вначале-то всё нормально. Однако заключительный аккорд просто умиляет:

$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\Delta g\to f'\Delta g\to0.$

И это я ещё не прошёлся толком по его восьмой главе, где он якобы что-то пытался сказать про вещественные числа...

[Munin]

ewert в сообщении #469030 писал(а):

Ну а середину (или хоть первую четверть), а?...

Я вообще первого тома не листал. Мне интересно было не придираться к тексту, а узнать что-то новое. И я узнал. Свою задачу эта книга выполняет, и у меня будет в коллекции. Полноценного учебника не заменит, но "быстро и грязно" некоторые сведения даёт.

[ewert]

Munin в сообщении #468783 писал(а):

И где они валяются, не подскажете?

http://www.ph4s.ru/kurs_mat.html. Там вообще довольно много чего (в т.ч. и по другим разделам).

[Munin]

Спасибо, я уже того.