Проще некуда.

[Trakovskij]

Математик и по совместительству адвокат Пьер Ферма в XVII веке утверждал, что в уравнении:
$A^{n+1}+B^{n+1}=C^{n+1}$, где $A < B < C $ и $n$ – натуральные числа, значений $n >1$ не может быть, но доказательства своего утверждения не оставил.
Уровень развития математики в те времена не мог превышать уровня требований программы в современной средней школе. Авторское доказательство теоремы, если оно существовало, должно быть понятно нашим школьникам.
Приведенная выше форма представления исходного уравнения выбрана намеренно, в поле рассмотрения находится все бесчисленное множество возможных значений показателя степени, начиная с двух.
Поочередно разделив части исходного уравнения на $C^{2n}$, $C^2 $ получаю две другие формы его представления:

$(A^{n+1}+B^{n+1})/C^{2n} =C/C^n$

$(A^{n+1}+B^{n+1})/C^2 =C^n/C$

Ввожу дополнительные обозначения:

$x=C/C^n $

$y=C^n/C$

$z= x^2+y^2 $

$s=( x+ y)^2$

Допускаю возможность $n=2$:

$x=C/C^2 =1/C$

$y=C^2/C=C$

$ z-s = z-s $

$ x^2+y^2 -x^2-2xy-y^2= x^2+y^2 -x^2-2xy-y^2 $

$x^2-2xy-x^2=y^2-2xy-y^2$

$x^2-2xy+y^2=y^2-2xy+x^2$

$(x-y)^2=(y-x)^2$

$x-y=y-x$

$x=y$

$1/C=C$

Я ошибся в своем допущении, найденное с его помощью равенство противоречит здравому смыслу при $C>1$. Если $C=1$, то числа $A$ и $B$ в исходном уравнении не могут быть натуральными.
Доказательство справедливо для всех $n >1$. Господин Ферма в своем утверждении был прав, значение n>1 в исходном уравнении невозможно.

[AKM]

По правилам форума,
"Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3"
(у Вас это соответствует n=2).

Тема перемещена в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[photon]

Trakovskij в сообщении #462810 писал(а):

$(x-y)^2=(y-x)^2$

$x-y=y-x$

Тут ошибка. Подставьте например $1$ и $2$ (или другие неравные числа).

Из равенства $(1-2)^2=(2-1)^2$ не следует равенство $1-2=2-1$

А вообще, из тождества $z-s=z-s$ Вы в принципе никакой информации о соотношении $x, y, z,s$ не извлечете, по той простой причине, что это тождество, то есть равенство, которое выполнится для любых значений переменных

[Trakovskij]

Очень странно и непонятно. Методом «От противного», допустив показатель степени в исходном уравнении равный трем, я получил противоречивое равенство, тем самым доказав невозможность такого. Своим примером Вы подтверждаете правильность моего вывода и вменяете мне ошибку. Равенство $x-y=y-x$ невозможно: слева от знака равенства отрицательное число, справа от него - положительное. Этого достаточно для доказательства, дальнейшее - вывод из этого противоречия, получение значений чисел в исходном уравнении, противоречащих исходным условиям.

[nnosipov]

Trakovskij, равенство $x-y=y-x$ Вы получили незаконным способом. Подумайте над таким вопросом: если квадраты двух чисел совпадают, то обязаны ли совпадать сами эти числа? Это вопрос для школьников, и дети обычно отвечают, что нет, не обязаны. У Вас есть равенство $(x-y)^2=(y-x)^2$, из которого Вы извлекаете другое равенство $x-y=y-x$. Но этот вывод неверен. Правильно было бы написать равенство $|x-y|=|y-x|$ (тождеству $\sqrt{a^2}=|a|$ учат, кажется, в 8-м классе). Понятно, что от этого правильно полученного равенства никакого толку, но что же тут поделать --- до желанного противоречия не так-то просто добраться (говорят, за всю историю форума только однажды кому-то из таких как Вы, любителей теоремы Ферма, удалось справиться со случаем $n=3$). Увы, всё совсем не просто.

[Коровьев]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #468830 писал(а):

до желанного противоречия не так-то просто добраться (говорят, за всю историю форума только однажды кому-то из таких как Вы, любителей теоремы Ферма, удалось справиться со случаем $n=3$). Увы, всё совсем не просто.

Не верю!
Ну, если только не переоткрытие доказательства Эйлера, ибо проще его нет. Проще, естественно, не в смысле простоты самого доказательства Эйлера.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Коровьев в сообщении #468843 писал(а):

Не верю!
Ну, если только не переоткрытие доказательства Эйлера, ибо проще его нет.

(Оффтоп)

Да, я имел в виду именно это. Но и здесь у меня сомнения: хотелось бы посмотреть, насколько аккуратно было воспроизведено доказательство Эйлера. Ферматист, который осознал это доказательство во всех деталях (как, например, в книжке М.М. Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел"), уже автоматически перестал бы быть ферматистом.

[alex1910]

Было у Эйлера доказательство или нет - достоверно неизвестно.
В любом случае полезно отсылать ферматистов к элементарному доказательству для случая n=3:

http://www.mathnet.ru/links/3f5c13ce2b8 ... zm3992.pdf

[Коровьев]

alex1910 в сообщении #468879 писал(а):

Было у Эйлера доказательство или нет - достоверно неизвестно.
В любом случае полезно отсылать ферматистов к элементарному доказательству для случая n=3:

http://www.mathnet.ru/links/3f5c13ce2b8 ... zm3992.pdf

Мачис в данной статье доказал только основную лемму доказательства Эйлера элементарными средствами того времени. У Эйлера доказательства найдено не было.
Тем самым Мачис всего лишь показал, что Эйлер мог иметь доказательство этой "злосчастной" леммы при тех уровнях знаний.

[alex1910]

Коровьев в сообщении #468910 писал(а):

alex1910 в сообщении #468879 писал(а):

Было у Эйлера доказательство или нет - достоверно неизвестно.
В любом случае полезно отсылать ферматистов к элементарному доказательству для случая n=3:

http://www.mathnet.ru/links/3f5c13ce2b8 ... zm3992.pdf

Мачис в данной статье доказал только основную лемму доказательства Эйлера элементарными средствами того времени. У Эйлера доказательства найдено не было.
Тем самым Мачис всего лишь показал, что Эйлер мог иметь доказательство этой "злосчастной" леммы при тех уровнях знаний.

Спасибо, я тоже умею читать:)

Зато ферматистам "задание на дом" - применить доказанную лемму и получить доказательство (ну, или прочитать, как это делается).

[Алексей К.]

Мне очень понравился этот фрагмент доказательства:

Trakovskij в сообщении #462810 писал(а):

Уровень развития математики в те времена не мог превышать уровня требований программы в современной средней школе.

[nnosipov]

alex1910 в сообщении #468879 писал(а):

http://www.mathnet.ru/links/3f5c13ce2b8 ... zm3992.pdf

Спасибо за ссылку, очень интересное доказательство.