А как показать евклидовость и неевклидовость кольца? Определить евклидову норму, правильно? А как это сделать?
Вы книжку Постникова гляньте для начала, прочтите хотя бы 70 страниц. Норма для колец типа
![$K= \mathbb{Z}[\sqrt[a]{d}]$ $K= \mathbb{Z}[\sqrt[a]{d}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/8/e58feb8ffb2708dd3172212e1d30d96482.png)
легко определяется по рецепту, написанному в книге (глава "Поле

и кольцо

"):

для

- алгебраического числа степени

(

- простое в книге), где

- автоморфизм кольца

, вложенного в

(для
![$\mathbb{Z}[\zeta]$ $\mathbb{Z}[\zeta]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/2/0d22bb6687f1b2f9a6a38275116c6f9e82.png)
все автоморфизмы - это просто перестановки корней из 1, порожденные их возведением в степень, взаимно простую с

:

).
Для колец типа
![$K= \mathbb{Z}[\sqrt[a]{d}]$ $K= \mathbb{Z}[\sqrt[a]{d}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/8/e58feb8ffb2708dd3172212e1d30d96482.png)
я в Боревиче-Шафаревиче находил быстрый способ вычисления нормы через собственные значения линейного оператора.
Примеры:
в кольце
![$\mathbb{Z}[\sqrt{d}], d>0$ $\mathbb{Z}[\sqrt{d}], d>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/e/fee372f82acbf24abb39b38bcfa482a182.png)
норма

в кольце
![$\mathbb{Z}[i]$ $\mathbb{Z}[i]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/d/cfdbf030ab897d91a568831f9b30af4f82.png)
норма

в кольце
![$\mathbb{Z}[\omega]$ $\mathbb{Z}[\omega]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/1/1d137a02e6b2c874493efffb91d7377682.png)
, где

норма

(проверьте, я там не помню - "+" или "-")
в кольце
![$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d7a3a65b47554ddcce081cd5bce704082.png)
норма
![$N(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}) = a^3+2b^3+4c^3-6abc$ $N(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}) = a^3+2b^3+4c^3-6abc$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/2/4a2dfcbab10f2593f1fb0a25d743086982.png)
.
И еще вопрос - как показывать простоту идеалов? Или хотя бы простоту комплексного числа в кольце?
Я умею так: строите гомоморфизм в более известное кольцо и проверяете простоту там (вот для составных идеалов

просто так не получится).
Пример: доказать, что

простое в
![$\mathbb{Z}[i]$ $\mathbb{Z}[i]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/d/cfdbf030ab897d91a568831f9b30af4f82.png)
. Берем описанную выше норму. Она дает гомоморфизм
![$N: \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{N}$ $N: \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/1/cb16e49f1d706d9f7f94ea4cf9b55ed382.png)
.

- простое. Значит

тоже простое. (проверьте, кстати, могу наврать, возможно, я явно какое-то условие забыл описать).
В Постникове Вы можете найти доказательство простоты числа

, где

(норма числа равна

).
-- Вт июл 19, 2011 16:41:12 --(Оффтоп)
вообще, кстати, книжка довольно хорошая. Я в определенный период времени "измерял" интеллект так: берется эта книжка и читается сначала до момента впадания в полный ступор. Номер последней страницы и "определяет" интеллект
