Как получено такое неравенство

[Falex]

Вопрос на понимание:
Пусть $G$ - гладкая кривая. Введем на $G$ ориентацию так, чтобы в каждой точке $z \in G$ комплексный дифференциал $dz$ дуги
удовлетворял условию $Re(dz) \ge 0$.Ориентированную такую кривую $G$ обозначим через $\gamma$. Через $P_0$ обозначим
проекцию $G$ на вещественную ось (с учетом кратности проектирования). Тогда

$$ |P_0| \le |\int\limits_{\gamma} dz| $$

Почему имеет место такое неравенство?

[незваный гость]

Вас интересует формально или неформальная интерпретация результата?

Если я правильно понимаю, то для любых двух точек $\gamma$ интеграл $\int dz$ равен просто разности между этими точками, а соответствующее подмножество $P_0$ — проекции этого отрезка (особенно, в силу положительности $\Re ({\rm d} z)$). Ну, проекция не длиннее отрезка, не так ли?

[Falex]

Это я понял.Справа стоит длина кривой $\gamma$?

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Вопрос на понимание:
Пусть $G$ - гладкая кривая. Введем на $G$ ориентацию так, чтобы в каждой точке $z \in G$ комплексный дифференциал $dz$ дуги
удовлетворял условию $Re(dz) \ge 0$...

Обычно ориентацией гладкой кривой называют выбор направления ее обхода. Интересно, как нужно обходить окружность,

Цитата:

чтобы комплексный дифференциал $dz$ дуги удовлетворял условию $Re(dz) \ge 0$

[Falex]

Здесь под ориентацией подразумевается просто ее направление!
Ну так там длина справа стоит?

[Brukvalub]

Прежде, чем обсуждать, что там стоит, стоит понять,что далеко не всякую гладкую кривую $G$ можно ориентировать так,

Цитата:

..чтобы в каждой точке $z \in G$ комплексный дифференциал $dz$ дуги удовлетворял условию $Re(dz) \ge 0$...

а из Вашей постановки вопроса кажется, что это можно сделать всегда. Если исходная посылка неверна, то зачем обсуждать ее следствия?

[незваный гость]

Длина дуги — это $ \int\limits_{\gamma} |dz| $. А $ |\int\limits_{\gamma} dz| $ — это длина хорды. Присмотритесь внимательно…

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Brukvalub приведите тогда контрпример!
Ну так в неравенстве справа стоит длина кривой??!!

Контрпример: окружность с центром в нуле.

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

Если исходная посылка неверна, то зачем обсуждать ее следствия?

Давайте переформулируем условие:

Пусть $G$ - гладкая кривая. Пусть, далее, на $G$ введена ориентация так, чтобы в каждой точке $z \in G$ комплексный дифференциал $dz$ дуги…

[Falex]

Так.А она локально спрямляема?!

P.S:
Длина хорды,соединяющий начало и конец кривой?

[незваный гость]

Falex писал(а):

Длина хорды,соединяющий начало и конец кривой?

да

[Falex]

Цитата:

да

Хе.А из этого разве следует выполнение неравенства!

[незваный гость]

А Вы думаете, длина хорды может быть меньше чем длина проекции хорды?

Добавлено спустя 2 минуты 38 секунд:

Идея в том, что Ваше неравенство на дифференциал обеспечивает «монотонность» проекции (проекция кривой суть отрезок между проекциями концевых точек).

[Falex]

незваный гость понял.

[незваный гость]

Впрочем, меня начало смущать Ваше выражение:

Falex писал(а):

(с учетом кратности проектирования)

Может быть, Вы найдете возможным пояснить его (на примере отрезка $[0,i]$).