16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011

[myra_panama]

The 16-th International Scientific Olympiad for University Students Summer 2011 Tehran , Iran
1.Mathematical analysis

1. A closed subset E of a metric space X is called a perfect set if every point of E is a limit point of E. Prove that if X contains an unbounded perfect subset, then X has infinitely many bounded perfect subsets.

2.Let $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ be a continuous function. Find

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\int\limits_0^1 x^nf(x)dx}{\int\limits_0^1 x^ndx}$$

3. Let {$a_n$} be a sequence of real numbers such that $a_n\to 0$ . Let $f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ be a continuous function such that $\int\limits_{a}^{\infty}|f(x)|dx<\infty$. Show that

$$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{a}^{\infty}|f(x+a_n)-f(x)|dx=0$$

4. Let {$a_n$} be a sequence of real numbers such that $a_0=1$ and

$$a_n+\frac{a_{n-1}}{1!}+\frac{a_{n-2}}{2!}+\cdots +\frac{a_1}{(n-1)!}+\frac{a_0}{n!}=1$$

for all $n\ge 1$. Show that {$a_n$} is convergent and find its limit.

5. Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a continuous function such that

$$\lim\limits_{\delta\to 0^{+}}\sup_{0<h<\delta}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge 0$$

Show that f is increasing.

-- Вт июл 12, 2011 14:06:30 --

Где - то я не вижу ewert - а ,.. Да , я понял он не хочет признавать такие олимпиадные задачи как в Иране дадут.. Брат спроси у Украинцам , почему они участвуют в Иране ... они каждый год одержают 2-ое место а превые Иранцы (http://olympiad.sanjesh.org/en/Result/11th.html)

[myra_panama]

(Solving 2)

We take

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\int\limits_0^{x} t^nf(t)dt}{\int\limits_0^{x} t^ndt}=\text{using rule Lopital}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^nf(x)}{x^n}=f(x)$
при x=1 получаем f(1) ... правильно ли ?

[ewert]

myra_panama в сообщении #467627 писал(а):

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\int\limits_0^{x} t^nf(t)dt}{\int\limits_0^{x} t^ndt}=\text{using rule Lopital}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^nf(x)}{x^n}=f(x)$
при x=1 получаем f(1) ... правильно ли ?

Неправильно, естественно. При чём тут Лопиталь-то?...

Просто докажите, что $\frac{\int\limits_0^{1-\varepsilon} x^nf(x)\,dx}{\int\limits_0^{1} x^n\,dx}$ для любого фиксированного $\varepsilon>0$ стремится к нулю при $n\to\infty$. Это легко; и этого, в принципе, и достаточно.

[Sonic86]

4. Предположим, что предел $a_n$ существует, обозначим его $L$.
$\sum\limits_{k=0}^n \frac{a_{n-k}}{k!} = 1 \Leftrightarrow$
$\sum\limits_{0 \leq k \leq n/2} \frac{a_{n-k}}{k!} + \sum\limits_{n/2 \leq k \leq n} \frac{a_{n-k}}{k!} = 1.$
Берем в формуле $n \to + \infty$. Поскольку $\lim\limits_{n \to + \infty} a_n = L$, то 2-я сумма ограничена сверху $C \frac{L}{(n/2)!} \to 0$, а в 1-й сумме $n-k \geq \frac{n}{2} \to + \infty$, так что 1-я сумма стремится к $L \sum\limits_{k=0}^{+ \infty}\frac{1}{k!}$, откуда $L=e^{-1}$.
Доказать существование $L$ пока не могу , отупел.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #467868 писал(а):

Доказать существование пока не могу

Вычитая из равенства для $a_{n+1}$ равенство для $a_{n}$ и полагая $d_n\equiv a_n-a_{n-1}$, $n=1,2,3,\ldots$ и $d_0\equiv 1$, получим

$\dfrac{d_{n+1}}{0!}+\dfrac{d_n}{1!}+\dfrac{d_{n-1}}{2!}+\ldots+\dfrac{d_1}{n!}+\dfrac{d_0}{(n+1)!}=0.$

Откуда по индукции $d_k=\dfrac{(-1)^k}{k!}$ (база индукции тривиальна, и при подстановке этого выражения в предыдущее получается очевидное тождество, в соответствии с биномом Ньютона). Соответственно, и $a_n$ как суммы $d_k$ -- это частичные суммы ряда Тейлора, дающие в пределе $e^{-1}$.

(т.е. из выражения для соседних разностей получается как минимум сходимость ряда и, соотв., исходной последовательности, которую Вы так жаждали, готовый же ответ -- как бонус; ну а вычислили предел в предположении существования конечного предела Вы действительно вполне разумно)

-- Ср июл 13, 2011 15:12:17 --

Ну тогда уж и про остальные. Первая -- скушно возиться с очевидными, но занудными формальностями. Про вторую и четвёртую я уже сказал (четвёртая симпатична, вторая же вполне банальна, но как упражнение сойдёт). Третья -- просто тривиальна. Пятая -- да, выглядит действительно неочевидной.

[myra_panama]

2.Algebra
1.Let $\mathbb{R}$ be any ring such that $a^6=a$ for all $a\in\mathbb{R}$. Show that $\mathbb{R}$ is a commutative ring.

2.Let G be a finite group and $N\trianglelefteq G$ be a normal subgroup of G of order p, where p is a prime number. If p is the least divisor of the order of G prove $N \subseteq Z(G)$.

3.Let D be an infinite integrals domain. If the number of maximal ideals of D is finite prove that D contains an infinite number of units.

4. Let G be a group and $N\trianglelefteq G$. If $\frac{G}{N}\cong Z$ prove there is a subgroup A of G such that $G=NA$ and $N\bigcap A=\{e\}$.

3.Linear Algebra

1. Let V be an n-dimensional vector space over $C$ where n is odd number. Let S and T be linear transformations on V such that $S^2=T^2=I$.
Prove there is a one dimensional subspace of V invariant under both S and T.

2.Let {$M_1,\cdots , M_r$} be a set of real $n\times n$ matrices which forms a group under matrix multiplication. If $\sum\limits_{i=1}^{r}tr(M_i)=0$ prove $\sum\limits_{i=1}^{r}M_i=0$

3.Let $T: M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ be a linear functional and C be the matrix whose $(i,j)$-entry is $(\frac1{\sqrt 2})^{i+j}$. If $T(AB)=T(BA)$ , for every $a,b \in M_n (R)$ and $T(C)=1$, then compute $T(I)$ .

4. Let V be a finite dimensional vector space over C and $T:V\to V$ be a linear transformation. Prove that T is diagonalizable if and only if for any $\lambda\in C$ , $\ker(\lambda I-T)^2=\ker(\lambda I-T)$.

[sup]

myra_panama в сообщении #467559 писал(а):

5. Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a continuous function such that

$$\lim\limits_{\delta\to 0^{+}}\sup_{0<h<\delta}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge 0$$

Show that f is increasing.

Пусть $\varepsilon >0$, $g(x)=f(x)+\varepsilon x$. Покажем, что $g(x)$ неубывающая функция. Действительно, из условия для $f$ имеем

$$\lim\limits_{\delta\to 0^{+}}\sup_{0<h<\delta}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\ge \varepsilon$$

Предположим, что для некоторых $a<b$ имеет место неравенство $g(a)>g(b)$. По теореме Вейерштрасса $g(x)$ достигает своего максимума на отрезке $[a,b]$ в некоторой точке $c$. Легко видеть, что $a<c<b$. Но тогда $\forall x :c<x<b, g(x) \leqslant g(c)$ - противоречие.
В силу произвольности $\varepsilon$ получаем, что $f$ -неубывающая функция. Строгое возрастание не гарантируется (пример - константа)

[no_name]

2. Проверьте пожалуйста.

(Оффтоп)

Можно воспользоваться монотонностью функции $x^n$ на $[0;1]$ и применить вторую теорему о среднем. Так же учитываем то, что непрерывная на компакте функция ограничена на этом компакте.

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\int\limits_{0}^{1}x^nf(x)dx}{\int\limits_{0}^{1}x^ndx} = $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{0^n\int\limits_{0}^{c}f(x)dx + 1^n\int\limits_{c}^{1}f(x)dx}{\int\limits_{0}^{1}x^ndx}=0$

Но мне кажется, что авторы задачи не подразумевали использование второй теоремы о среднем, чувствую, что можно как-то еще.

[Руст]

Не правильно. Выделите вначале f(1) и воспользуйтесь непрерывностью.

[no_name]

А в чём я ошибаюсь?

[Руст]

Число с зависит от n. Знаменатель стремится к нулю как $1/n+1}$. Но вы не знаете как стремится к 1 $c(n)$, поэтому никакого заключения делать отсюда вы не можете.

[ShMaxG]

Прошу прощения, а разве это не действующая олимпиада?
http://olympiad.sanjesh.org/en/Program% ... ities.html

[no_name]

Руст

(Оффтоп)

Ага, спасибо, не подумал про зависимость что-то. А если мы рассмотрим функцию $g(x) = x^nf(x)$ на множестве $[0;1]$
Покажем, что при достаточно больших $n$ функция $g(x)$ стремится к нулю.
т.к $f(x)$ — непрерывна на этом компакте, то она и ограничена. А множество значений $x^n$ на этом компакте, так же $[0;1]$. Так как $x$ всегда меньше единицы (кроме, конечно точки {1}), то при $n$ стремящемся к бесконечности $x^n$ стремится к нулю, $f(x)$ ограниченная функция, произведение бесконечно малой и ограниченной есть бесконечно малая. Числитель стремится к нулю, а знаменатель к единице.

[ewert]

no_name в сообщении #468462 писал(а):

Числитель стремится к нулю, а знаменатель к единице.

Последнее-то кто сказал?...

ТщательнЕе надо быть, тщательнЕе. Ясно, что все и во все времена куда-то стремятся; стремления к стремлениям не отымешь. Но вот кто куда -- это уже вопрос.

[no_name]

Точно, совсем уже крыша едет, с тщательностью вечно проблемы. Про единицу чушь написал, к нулю конечно.
Ну в таком случае у нас есть неопределённость 0/0 можно использовать правило Лопиталя, вопрос только в том, поможет ли это. Если заменить единицу в верхних пределах на число, которое стремится к единице и продифференцировать их как интегралы с переменными верхними пределами, тогда получится f(1). Но нельзя же так делать?