2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение12.07.2011, 13:17 


19/01/11
718
The 16-th International Scientific Olympiad for University Students Summer 2011 Tehran , Iran
1.Mathematical analysis

1. A closed subset E of a metric space X is called a perfect set if every point of E is a limit point of E. Prove that if X contains an unbounded perfect subset, then X has infinitely many bounded perfect subsets.

2.Let $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ be a continuous function. Find
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\int\limits_0^1 x^nf(x)dx}{\int\limits_0^1 x^ndx}$$

3. Let {$a_n$} be a sequence of real numbers such that $a_n\to 0$ . Let $f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ be a continuous function such that $\int\limits_{a}^{\infty}|f(x)|dx<\infty$. Show that
$$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{a}^{\infty}|f(x+a_n)-f(x)|dx=0$$

4. Let {$a_n$} be a sequence of real numbers such that $a_0=1$ and
$$a_n+\frac{a_{n-1}}{1!}+\frac{a_{n-2}}{2!}+\cdots +\frac{a_1}{(n-1)!}+\frac{a_0}{n!}=1$$
for all $n\ge 1$. Show that {$a_n$} is convergent and find its limit.

5. Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a continuous function such that
$$\lim\limits_{\delta\to 0^{+}}\sup_{0<h<\delta}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge 0$$
Show that f is increasing.

-- Вт июл 12, 2011 14:06:30 --

Где - то я не вижу ewert - а ,.. Да , я понял он не хочет признавать такие олимпиадные задачи как в Иране дадут.. Брат спроси у Украинцам , почему они участвуют в Иране ... они каждый год одержают 2-ое место а превые Иранцы (http://olympiad.sanjesh.org/en/Result/11th.html)

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение12.07.2011, 15:29 


19/01/11
718

(Solving 2)

We take

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\int\limits_0^{x} t^nf(t)dt}{\int\limits_0^{x} t^ndt}=\text{using  rule Lopital}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^nf(x)}{x^n}=f(x)$
при x=1 получаем f(1) ... правильно ли ?

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение12.07.2011, 16:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
myra_panama в сообщении #467627 писал(а):
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\int\limits_0^{x} t^nf(t)dt}{\int\limits_0^{x} t^ndt}=\text{using rule Lopital}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^nf(x)}{x^n}=f(x)$
при x=1 получаем f(1) ... правильно ли ?

Неправильно, естественно. При чём тут Лопиталь-то?...

Просто докажите, что $\frac{\int\limits_0^{1-\varepsilon} x^nf(x)\,dx}{\int\limits_0^{1} x^n\,dx}$ для любого фиксированного $\varepsilon>0$ стремится к нулю при $n\to\infty$. Это легко; и этого, в принципе, и достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение13.07.2011, 08:40 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
4. Предположим, что предел $a_n$ существует, обозначим его $L$.
$\sum\limits_{k=0}^n \frac{a_{n-k}}{k!} = 1 \Leftrightarrow$
$\sum\limits_{0 \leq k \leq n/2} \frac{a_{n-k}}{k!} + \sum\limits_{n/2 \leq k \leq n} \frac{a_{n-k}}{k!} = 1.$
Берем в формуле $n \to + \infty$. Поскольку $\lim\limits_{n \to + \infty} a_n = L$, то 2-я сумма ограничена сверху $C \frac{L}{(n/2)!} \to 0$, а в 1-й сумме $n-k \geq \frac{n}{2} \to + \infty$, так что 1-я сумма стремится к $L \sum\limits_{k=0}^{+ \infty}\frac{1}{k!}$, откуда $L=e^{-1}$.
Доказать существование $L$ пока не могу :-(, отупел.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение13.07.2011, 14:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sonic86 в сообщении #467868 писал(а):
Доказать существование пока не могу

Вычитая из равенства для $a_{n+1}$ равенство для $a_{n}$ и полагая $d_n\equiv a_n-a_{n-1}$, $n=1,2,3,\ldots$ и $d_0\equiv 1$, получим

$\dfrac{d_{n+1}}{0!}+\dfrac{d_n}{1!}+\dfrac{d_{n-1}}{2!}+\ldots+\dfrac{d_1}{n!}+\dfrac{d_0}{(n+1)!}=0.$

Откуда по индукции $d_k=\dfrac{(-1)^k}{k!}$ (база индукции тривиальна, и при подстановке этого выражения в предыдущее получается очевидное тождество, в соответствии с биномом Ньютона). Соответственно, и $a_n$ как суммы $d_k$ -- это частичные суммы ряда Тейлора, дающие в пределе $e^{-1}$.

(т.е. из выражения для соседних разностей получается как минимум сходимость ряда и, соотв., исходной последовательности, которую Вы так жаждали, готовый же ответ -- как бонус; ну а вычислили предел в предположении существования конечного предела Вы действительно вполне разумно)

-- Ср июл 13, 2011 15:12:17 --

Ну тогда уж и про остальные. Первая -- скушно возиться с очевидными, но занудными формальностями. Про вторую и четвёртую я уже сказал (четвёртая симпатична, вторая же вполне банальна, но как упражнение сойдёт). Третья -- просто тривиальна. Пятая -- да, выглядит действительно неочевидной.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение13.07.2011, 14:36 


19/01/11
718
2.Algebra
1.Let $\mathbb{R}$ be any ring such that $a^6=a$ for all $a\in\mathbb{R}$. Show that $\mathbb{R}$ is a commutative ring.

2.Let G be a finite group and $N\trianglelefteq G$ be a normal subgroup of G of order p, where p is a prime number. If p is the least divisor of the order of G prove $N \subseteq Z(G)$.

3.Let D be an infinite integrals domain. If the number of maximal ideals of D is finite prove that D contains an infinite number of units.

4. Let G be a group and $N\trianglelefteq G$. If $\frac{G}{N}\cong Z$ prove there is a subgroup A of G such that $G=NA$ and $N\bigcap A=\{e\}$.

3.Linear Algebra

1. Let V be an n-dimensional vector space over $C$ where n is odd number. Let S and T be linear transformations on V such that $S^2=T^2=I$.
Prove there is a one dimensional subspace of V invariant under both S and T.

2.Let {$M_1,\cdots , M_r$} be a set of real $n\times n$ matrices which forms a group under matrix multiplication. If $\sum\limits_{i=1}^{r}tr(M_i)=0$ prove $\sum\limits_{i=1}^{r}M_i=0$

3.Let $T: M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ be a linear functional and C be the matrix whose $(i,j)$-entry is $(\frac1{\sqrt 2})^{i+j}$. If $T(AB)=T(BA)$ , for every $a,b \in M_n (R)$ and $T(C)=1$, then compute $T(I)$ .

4. Let V be a finite dimensional vector space over C and $T:V\to V$ be a linear transformation. Prove that T is diagonalizable if and only if for any $\lambda\in C$ , $\ker(\lambda I-T)^2=\ker(\lambda I-T)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 16:32 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
myra_panama в сообщении #467559 писал(а):
5. Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a continuous function such that
$$\lim\limits_{\delta\to 0^{+}}\sup_{0<h<\delta}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge 0$$
Show that f is increasing.

Пусть $\varepsilon >0$, $g(x)=f(x)+\varepsilon x$. Покажем, что $g(x)$ неубывающая функция. Действительно, из условия для $f$ имеем
$$\lim\limits_{\delta\to 0^{+}}\sup_{0<h<\delta}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\ge \varepsilon$$
Предположим, что для некоторых $a<b$ имеет место неравенство $g(a)>g(b)$. По теореме Вейерштрасса $g(x)$ достигает своего максимума на отрезке $[a,b]$ в некоторой точке $c$. Легко видеть, что $a<c<b$. Но тогда $\forall x :c<x<b, g(x) \leqslant g(c)$ - противоречие.
В силу произвольности $\varepsilon$ получаем, что $f$ -неубывающая функция. Строгое возрастание не гарантируется (пример - константа)

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 19:26 


02/05/10
49
2. Проверьте пожалуйста.

(Оффтоп)

Можно воспользоваться монотонностью функции $x^n$ на $[0;1]$ и применить вторую теорему о среднем. Так же учитываем то, что непрерывная на компакте функция ограничена на этом компакте.

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\int\limits_{0}^{1}x^nf(x)dx}{\int\limits_{0}^{1}x^ndx} = $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{0^n\int\limits_{0}^{c}f(x)dx + 1^n\int\limits_{c}^{1}f(x)dx}{\int\limits_{0}^{1}x^ndx}=0$

Но мне кажется, что авторы задачи не подразумевали использование второй теоремы о среднем, чувствую, что можно как-то еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 19:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Не правильно. Выделите вначале f(1) и воспользуйтесь непрерывностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 19:59 


02/05/10
49
А в чём я ошибаюсь? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 20:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Число с зависит от n. Знаменатель стремится к нулю как $1/n+1}$. Но вы не знаете как стремится к 1 $c(n)$, поэтому никакого заключения делать отсюда вы не можете.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Прошу прощения, а разве это не действующая олимпиада?
http://olympiad.sanjesh.org/en/Program% ... ities.html

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 21:23 


02/05/10
49
Руст

(Оффтоп)

Ага, спасибо, не подумал про зависимость что-то. А если мы рассмотрим функцию $g(x) = x^nf(x)$ на множестве $[0;1]$
Покажем, что при достаточно больших $n$ функция $g(x)$ стремится к нулю.
т.к $f(x)$ — непрерывна на этом компакте, то она и ограничена. А множество значений $x^n$ на этом компакте, так же $[0;1]$. Так как $x$ всегда меньше единицы (кроме, конечно точки {1}), то при $n$ стремящемся к бесконечности $x^n$ стремится к нулю, $f(x)$ ограниченная функция, произведение бесконечно малой и ограниченной есть бесконечно малая. Числитель стремится к нулю, а знаменатель к единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 22:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
no_name в сообщении #468462 писал(а):
Числитель стремится к нулю, а знаменатель к единице.

Последнее-то кто сказал?...

ТщательнЕе надо быть, тщательнЕе. Ясно, что все и во все времена куда-то стремятся; стремления к стремлениям не отымешь. Но вот кто куда -- это уже вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: 16-th International mathmatical olympiad in Iran 2011
Сообщение14.07.2011, 22:18 


02/05/10
49
Точно, совсем уже крыша едет, с тщательностью вечно проблемы. Про единицу чушь написал, к нулю конечно.
Ну в таком случае у нас есть неопределённость 0/0 можно использовать правило Лопиталя, вопрос только в том, поможет ли это. Если заменить единицу в верхних пределах на число, которое стремится к единице и продифференцировать их как интегралы с переменными верхними пределами, тогда получится f(1). Но нельзя же так делать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group