Как увеличить произведение?

[Xenia1996]

а) Существуют ли такие 15 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2011 раз?

б) Существуют ли такие 14 натуральных чисел?

[alex1910]

Если и существует - единиц среди этих 15-ти (14-ти) чисел должно быть очень много :)

[ewert]

Боюсь, что это была шутка (число 2011 -- простое).

[Xenia1996]

ewert в сообщении #468270 писал(а):

Боюсь, что это была шутка (число 2011 -- простое).

Не бойтесь.
Я с Вами.
Шутки не было.

[alex1910]

1 - 10 штук.
2,4,32,66,2010.

[Xenia1996]

alex1910 в сообщении #468273 писал(а):

1 - 10 штук.
2,4,32,66,2010.

А если без компа, то

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 24 200 2010

[ewert]

Xenia1996 в сообщении #468271 писал(а):

Шутки не было.

(испуганно) А что это было?...

[Xenia1996]

ewert в сообщении #468275 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #468271 писал(а):

Шутки не было.

(испуганно) А что это было?...

Контринтуитивное условие задачи.

[alex1910]

Xenia1996 в сообщении #468274 писал(а):

alex1910 в сообщении #468273 писал(а):

1 - 10 штук.
2,4,32,66,2010.

А если без компа, то

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 24 200 2010

Вы таки будете смеяться, но я сделал это без компа.

Единиц там от 7 до 10-ти - я взял 10.
Должно быть число вида 2011k-1 - я взял 2010.
Дальше 1005 = 3*5*67 - отсюда 2,4,66.

Осталось найти 32 из линейного уравнения.

[Xenia1996]

alex1910 в сообщении #468278 писал(а):

Вы таки будете смеяться, но я сделал это без компа.

Единиц там от 7 до 10-ти - я взял 10.
Должно быть число вида 2011k-1 - я взял 2010.
Дальше 1005 = 3*5*67 - отсюда 2,4,66.

Осталось найти 32 из линейного уравнения.

Таки не буду смеяться.
Простите, что так подумала.

А вот как бы доказать в пункте б), что 14 не катит...

[alex1910]

Xenia1996 в сообщении #468324 писал(а):

alex1910 в сообщении #468278 писал(а):

Вы таки будете смеяться, но я сделал это без компа.

Единиц там от 7 до 10-ти - я взял 10.
Должно быть число вида 2011k-1 - я взял 2010.
Дальше 1005 = 3*5*67 - отсюда 2,4,66.

Осталось найти 32 из линейного уравнения.

Таки не буду смеяться.
Простите, что так подумала.

А вот как бы доказать в пункте б), что 14 не катит...

Если тупо - перебрать варианты, их совсем немного.
Если тупо и ломает - написать прогу, перебирающую варианты.

Если умно - без понятия. Какие-нибудь пляски вокруг делимости и ограничений сверху/снизу.

[karzhas]

alex1910 в сообщении #468263 писал(а):

Если и существует - единиц среди этих 15-ти (14-ти) чисел должно быть очень много :)

Вот здесь ты ошибаешься, если первоночально будет много единиц, то увеличивая каждое число на 1 то в следующем произведении степени 2 будут больше, а разница четко сказано, в 2011 раз

[Toucan]

karzhas в сообщении #468366 писал(а):

Вот здесь ты ошибаешься

karzhas, замечание за фамильярность. Читайте Правила форума:

Правила форума в http://dxdy.ru/post27356.html#p27356 писал(а):

1) Нарушением считается:
…
е) ..., фамильярность (у нас принято обращаться друг к другу на "Вы")...

[Sonic86]

(попытка обобщения)

Обозначим $s(n)$ - минимальное $s$ такое, что число $n$ представимо в виде произведение $s$ дробей вида $1+\frac{1}{x}$ для $x \in \mathbb{N}$. Очевидно, что $s(mn) \leq s(m)+s(n)$ и $s(p) \leq 2+ \frac{p-1}{2}$ для нечетного простого $p$ и $s(2^k)=k$.
Уже доказали, что $s(n) \geq \log _2 n$.
Обозначим $U(n)$ функцию, определенную соотношениями $U(p_1^{a_1}...p_k^{a_k}) = a_1U(p_1)+...+a_kU(p_k)$ и $U(p)=2+U(\frac{p-1}{2})$ для нечетного простого $p$ и $U(2^k)=k$.
Существует ли $n: s(n) < U(n)$ и почему? Если существует, то каково минимальное такое $n$?

[Sonic86]

Вот еще одно разложение с $15$-ю сомножителями:

$$2011 = \frac{32176}{32175} \cdot \frac{65}{64} \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{2}{1} \right)^{10}$$

Верно ли, что любое число вида $2^k-1$ неразложимо в виде произведения $2k-3$ дробей вида $1+ \frac{1}{x}$?.