бесконечен ли ряд натуральных чисел?

[anik]

Начнём с определения, которое дано в Советском энциклопедическом словаре. «Натуральные числа, числа, возникающие в процессе простого счёта, целые положит. числа 1, 2, 3, …».
Можно подумать, что существует ещё сложный счёт. Здесь, наверное, имелось в виду, что счет предметов это такая простая вещь, для которой вполне достаточно приведённого определения (числа это числа, которые «возникают»…).
Существует «мнение зала», что ряд натуральных чисел бесконечен. Что имеется при этом в виду? Обратим внимание на «обтекаемость» и двусмысленность высказывания: «ряд натуральных чисел бесконечен». Можно понимать так: ряд не имеет определённого конца. В различных, конкретных случаях ряд может иметь конечную, но различную, определённую количеством предметов счёта длину. Поэтому, начиная писать этот ряд, мы ставим в «конце» (условном, конечно) многоточие, (как это и сделано в определении натурального ряда в энциклопедическом словаре). Но можно понимать и так: количество натуральных чисел бесконечно большое. Понятие «бесконечность» употребляется здесь в разных смыслах. Возникает подозрение, что математиков такая двусмысленность устраивает, но становится возможной логическая ошибка, которая называется сменой тезиса. Почему речь идёт не о числах, а именно о ряде? иначе было бы высказано более чётко, какой смысл имеется в виду.

[Виктор Викторов]

anik в сообщении #467634 писал(а):

Существует «мнение зала», что ряд натуральных чисел бесконечен.

А ещё существуют аксиомы Пеано.

[anik]

Виктор Викторов в сообщении #467648 писал(а):

А ещё существуют аксиомы Пеано.

По моей памяти аксиомы Пеано дают некоторый алгоритм построения натуральных чисел, но ничего не говорят о бесконечности.

[LaTeXScience]

anik в сообщении #467634 писал(а):

Существует «мнение зала», что ряд натуральных чисел бесконечен. Что имеется при этом в виду?

Что нет наибольшего натурального числа.

[anik]

На мой взгляд, понятие "натуральное число" можно определить через более первичные понятия. А как насчёт двусмысленности понимания бесконечности в высказывании: ряд натуральных чисел бесконечен? Я согласен с тем, что этот ряд не имеет фиксированного конца, но не согласен с тем, что количество натуральных чисел бесконечно большое.

[Виктор Викторов]

anik в сообщении #467673 писал(а):

Я согласен с тем, что этот ряд не имеет фиксированного конца, ...

Что значит «ряд не имеет фиксированного конца»? Либо есть конец (и множество конечно), либо его нет и множество бесконечно.

anik в сообщении #467673 писал(а):

... количество натуральных чисел бесконечно большое.

Как количество может быть бесконечно большим? Посмотрите какую-нибудь элементарную книжку по теории множеств.

-- Вт июл 12, 2011 10:52:51 --

У Вас серьезные проблемы с терминологией. То что Вы называете «ряд» есть последовательность.

[anik]

Есть такое высказывание: Бог придумал натуральные числа, а всё остальное придумал человек. Природа нам дала натуральное количество объектов, а имена этим количествам (т.е. имена чисел) придумал человек. Поэтому имя-знак числа это искусственный объект природы, придуманный человеком. Тут всё как раз с точностью наоборот.
Когда говорят, что нет наибольшего натурального числа, то имеют в виду либо наибольшего имени числа, либо наибольшего количества объектов. Сколько бы мы ...ллионов или гуглов ни придумали, всех количеств не охватишь, так-что имя последнего натурального числа всегда можно назвать.
В современные телескопы мы можем наблюдать только ограниченную чувствительностью телескопов, т.е. конечную (пусть даже очень большую) часть вселенной (метагалактика, её границы оцениваются расстоянием в $10^{27}$ м. ["Физика и физический мир", Дж. Б. Мэрион] Находятся или нет за границей видимости какие-либо объекты природы, нам остаётся только предполагать.
«Число атомов в известной нам части Вселенной. Ядра атомов всех элементов состоят из протонов и нейтронов. Учёные предполагают, что общее число протонов и нейтронов в известной нам части Вселенной, определённое с неточностью, может быть, раз в 100, имеет порядок $10^{80}$», ["Берклеевский курс физики"].
Какие же объекты мы должны считать, если число атомов в воспринимаемой нами части вселенной конечно?

-- Вт июл 12, 2011 22:47:42 --

Виктор Викторов в сообщении #467681 писал(а):

Что значит «ряд не имеет фиксированного конца»? Либо есть конец (и множество конечно), либо его нет и множество бесконечно.

Вы можете сказать, сколько вагонов в железнодорожном составе? Имеет ли железнодорожный состав фиксированное количество вагонов? Конец у состава всегда есть, но он не фиксирован определённым числом. Отсюда не следует, что железнодорожный состав бесконечен (по числу вагонов).
Если конца у множества нет, то оно бесконечно? Множество задаётся характеристическим свойством, которым обладают только те объекты, которые принадлежат множеству. Это характеристическое свойство делит все объекты природы на две части: объекты входящие во множество, и объекты не входящие во множество. Я думаю вопрос о конечности количества объектов множества равносилен вопросу о количестве натуральных чисел. Правда имён натуральных чисел может не хватить, но множество объектов всё равно должно быть конечным.

-- Вт июл 12, 2011 22:50:32 --

Виктор Викторов в сообщении #467681 писал(а):

anik в сообщении #467673 писал(а):
... количество натуральных чисел бесконечно большое.
Как количество может быть бесконечно большим? Посмотрите какую-нибудь элементарную книжку по теории множеств.

Т.е. Вы согласны с тем, что количество не может быть бесконечно большим?

-- Вт июл 12, 2011 22:53:09 --

Виктор Викторов в сообщении #467681 писал(а):

У Вас серьезные проблемы с терминологией. То что Вы называете «ряд» есть последовательность.

Понятие ряда натуральных чисел не мною выдумано.

[bot]

(Оффтоп)

anik в сообщении #467692 писал(а):

Есть такое высказывание: Бог придумал натуральные числа, а всё остальное придумал человек.

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk (Leopold Kronecker)
Современные логики стоят на другой точке зрения: Бог создал пустое множество ... (далее по тексту)

[anik]

Вопрос к модераторам: я не понял, куда перемещена эта тема?

-- Вт июл 12, 2011 23:02:27 --

bot в сообщении #467716 писал(а):

Современные логики стоят на другой точке зрения: Бог создал пустое множество

(Оффтоп)

Пусть себе стоят, я им не буду мешать.

[Someone]

anik в сообщении #467634 писал(а):

Начнём с определения, которое дано в Советском энциклопедическом словаре.

Тоже мне - источник математической информации...

anik в сообщении #467634 писал(а):

Существует «мнение зала», что ряд натуральных чисел бесконечен. Что имеется при этом в виду?

Что не существует последнего натурального числа.

anik в сообщении #467651 писал(а):

По моей памяти аксиомы Пеано дают некоторый алгоритм построения натуральных чисел, но ничего не говорят о бесконечности.

Они говорят, что нет последнего натурального числа.

anik в сообщении #467673 писал(а):

На мой взгляд, понятие "натуральное число" можно определить через более первичные понятия.

Можно. В теории множеств натуральные числа определяются через множества.

anik в сообщении #467673 писал(а):

Я согласен с тем, что этот ряд не имеет фиксированного конца

А не фиксированный конец имеет?

anik в сообщении #467692 писал(а):

В современные телескопы мы можем наблюдать только ограниченную чувствительностью телескопов

До сих пор я думал, что в телескопы наблюдают астрономические объекты (а иногда - и наземные). Теперь с удивлением узнал, что в телескоп наблюдают "ограниченную чувствительность телескопа".

anik в сообщении #467692 писал(а):

Если конца у множества нет, то оно бесконечно?

Что такое "конец множества"? Впервые о таком слышу.

anik в сообщении #467692 писал(а):

Вы можете сказать, сколько вагонов в железнодорожном составе?

Железнодорожных составов много. Предъявите конкретный - посчитаем.

anik в сообщении #467692 писал(а):

Множество задаётся характеристическим свойством, которым обладают только те объекты, которые принадлежат множеству. Это характеристическое свойство делит все объекты природы...

Извините, какое отношение имеют объекты природы к множествам или к натуральным числам? Натуральные числа - это не объекты природы, и множества - это не объекты природы.

P.S. В физическом разделе Вы уже пришли к выводу, что все физики - сумасшедшие, и общаться с ними не следует. Теперь решили демонстрировать свои откровения здесь?

[anik]

Someone в сообщении #467731 писал(а):

anik в сообщении #467634 писал(а):

Существует «мнение зала», что ряд натуральных чисел бесконечен. Что имеется при этом в виду?

Что не существует последнего натурального числа.

Два высказывания: «не существует последнего натурального числа» и «ряд натуральных чисел бесконечен» сильно отличаются друг от друга. Вы этого не находите? Между ними логическая пропасть. Или мы должны говорить одно, а подразумевать совсем другое?
Высказывание: «ряд натуральных чисел бесконечен» двусмысленно. Давайте мы будем обсуждать вопрос: количество натуральных чисел бесконечно или нет?

Someone в сообщении #467731 писал(а):

anik в сообщении #467673 писал(а):

Я согласен с тем, что этот ряд не имеет фиксированного конца

А не фиксированный конец имеет?

Не фиксированный конец ряд натуральных чисел всегда имеет. Этот конец зависит от конкретного количества посчитанных предметов.
Чтобы понять, что такое ряд натуральных чисел, нужно задуматься о процессе счёта предметов (объектов природы). Дело в том, что количество объектов природы (которые имеет смысл считать) задано самой природой как факт, независимо от того, посчитали мы эти объекты или нет. Если хорошо подумать, то считать имеет смысл только элементы множества. Если мы предварительно не определим множество, то и считать будет нечего.

Someone в сообщении #467731 писал(а):

anik в сообщении #467692 писал(а):

В современные телескопы мы можем наблюдать только ограниченную чувствительностью телескопов

До сих пор я думал, что в телескопы наблюдают астрономические объекты (а иногда - и наземные). Теперь с удивлением узнал, что в телескоп наблюдают "ограниченную чувствительность телескопа".

Вы как всегда в своём репертуаре. Отрываете цитату от контекста, искажаете её, и начинаете над ней хихикать. Вам, наверное, больше делать нечего или это игра на публику?
Вообще, это не моя цитата, а цитата из книги: «Физика и физический мир», Дж. Б. Мэрион, Москва 1975г. «Например, в современные телескопы мы можем наблюдать только ограниченную чувствительностью телескопов, т.е. конечную (пусть даже очень большую) часть вселенной (метагалактика, её границы оцениваются расстоянием в 1027 м». Возможно, сейчас эти границы несколько расширились.

Someone в сообщении #467731 писал(а):

anik в сообщении #467692 писал(а):

Если конца у множества нет, то оно бесконечно?

Что такое "конец множества"? Впервые о таком слышу.

Речь шла о множестве вагонов в составе. Согласен с Вашим замечанием. Мне следовало спросить: если определённого конца количеству вагонов во множестве вагонов в составе вообще нет, то множество вагонов в составе бесконечно?

Someone в сообщении #467731 писал(а):

anik в сообщении #467692 писал(а):

Вы можете сказать, сколько вагонов в железнодорожном составе?

Железнодорожных составов много. Предъявите конкретный - посчитаем.

Вот и я о том же. Речь шла о следующем:
Виктор Викторов в сообщении #467681 писал(а):
Что значит «ряд не имеет фиксированного конца»? Либо есть конец (и множество конечно), либо его нет и множество бесконечно.

Предъявите конкретный ряд натуральных чисел – посчитаем.

Someone в сообщении #467731 писал(а):

anik в сообщении #467692 писал(а):

Множество задаётся характеристическим свойством, которым обладают только те объекты, которые принадлежат множеству. Это характеристическое свойство делит все объекты природы...

Извините, какое отношение имеют объекты природы к множествам или к натуральным числам? Натуральные числа - это не объекты природы, и множества - это не объекты природы.

Извините, тогда я могу задать такой вопрос: какое отношение имеет математика к изучению природы? Природа сама по себе, а математика – тоже сама по себе? Что же тогда изучает математика, образ мышления отдельных математиков? Откуда математика берёт понятия множества (чего?) и натуральных количеств (чего?)? Например, у мухи шесть ног, на руке у человека пять пальцев.
Объекты природы обладают различными свойствами, выделяя какое-либо значимое для нас свойство, мы тем самым задаём множество объектов природы, обладающих этим общим (характеристическим) свойством. Натуральные числа, как знаки-имена количеств объектов, тоже есть объекты природы, только искусственные, придуманные человеком.
Чтобы запомнить возраст, номер квартиры или телефона, нам нужно это число материализовать в памяти. Но, чтобы это число кому-то сообщить, мы должны назвать его имя или материализовать его в виде цифр на бумаге. Мы не умеем читать мысли.

-- Ср июл 13, 2011 16:42:41 --

В «обоснование» бесконечности ряда натуральных чисел приводят иногда следующее рассуждение: к имеющемуся натуральному числу мы всегда можем прибавить единицу, получив следующее натуральное число. Такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд натуральных чисел бесконечен. Ошибка заключается в выделенной курсивом части рассуждения.
Рассмотрим аналогичное рассуждение. Допустим, мы выкладываем кости домино в ряд, чтобы потом, толкнув первую «доминушку», повалить весь ряд. К имеющемуся уже ряду, мы всегда сможем добавить очередную кость, такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд костей домино бесконечен. Заметим, что факт бесконечности ряда костей домино уже, почему-то, становится сомнителен, хотя логика наших рассуждений не изменилась.

[Xaositect]

anik в сообщении #467922 писал(а):

В «обоснование» бесконечности ряда натуральных чисел приводят иногда следующее рассуждение: к имеющемуся натуральному числу мы всегда можем прибавить единицу, получив следующее натуральное число. Такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд натуральных чисел бесконечен. Ошибка заключается в выделенной курсивом части рассуждения.
Рассмотрим аналогичное рассуждение. Допустим, мы выкладываем кости домино в ряд, чтобы потом, толкнув первую «доминушку», повалить весь ряд. К имеющемуся уже ряду, мы всегда сможем добавить очередную кость, такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд костей домино бесконечен. Заметим, что факт бесконечности ряда костей домино уже, почему-то, становится сомнителен, хотя логика наших рассуждений не изменилась.

Грубая ошибка - путаете множество с элементами.
Правильная аналогия такая: Допустим, мы выкладываем кости домино в ряд, чтобы потом, толкнув первую «доминушку», повалить весь ряд. К имеющемуся уже ряду, мы всегда сможем добавить очередную кость, такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, последовательность рядов домино бесконечна.

[anik]

Xaositect в сообщении #467941 писал(а):

Грубая ошибка - путаете множество с элементами.
Правильная аналогия такая: Допустим, мы выкладываем кости домино в ряд, чтобы потом, толкнув первую «доминушку», повалить весь ряд. К имеющемуся уже ряду, мы всегда сможем добавить очередную кость, такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, последовательность рядов домино бесконечна.

О какой последовательности рядов костей домино Вы здесь говорите? Речь идёт об одном ряде. Может быть Вы полагаете, что добавив к уже имеющемуся ряду кость домино, мы получим уже другой ряд? Оставим пока обсуждение этой детали. Пусть, при добавлении кости мы будем иметь другой ряд, но почему этих рядов должно быть бесконечное количество?

[Someone]

anik в сообщении #467922 писал(а):

Два высказывания: «не существует последнего натурального числа» и «ряд натуральных чисел бесконечен» сильно отличаются друг от друга.

Не нахожу. Сформулируйте определения натурального ряда, конечного множества и бесконечного множества, тогда будет о чём говорить. А пока Вы рассуждаете на уровне филологии. Это к математике отношения не имеет.

anik в сообщении #467922 писал(а):

Давайте мы будем обсуждать вопрос: количество натуральных чисел бесконечно или нет?

Я не знаю, что такое "количество натуральных чисел". Математическое определение сформулируете?

anik в сообщении #467922 писал(а):

Не фиксированный конец ряд натуральных чисел всегда имеет. Этот конец зависит от конкретного количества посчитанных предметов.

Натуральный ряд не имеет никакого отношения к пересчитыванию предметов. Если Вы будете нести здесь такую ахинею, Вас заблокируют за безграмотность.

anik в сообщении #467922 писал(а):

Чтобы понять, что такое ряд натуральных чисел, нужно задуматься о процессе счёта предметов (объектов природы). Дело в том, что количество объектов природы (которые имеет смысл считать) задано самой природой как факт, независимо от того, посчитали мы эти объекты или нет.

Объекты природы не имеют никакого отношения ни к натуральным числам в частности, ни к математике вообще. Математика не занимается изучением объектов природы, этим занимаются физика, химия, биология, география и т.п..

anik в сообщении #467922 писал(а):

Речь шла о множестве вагонов в составе. Согласен с Вашим замечанием. Мне следовало спросить: если определённого конца количеству вагонов во множестве вагонов в составе вообще нет, то множество вагонов в составе бесконечно?

Вы можете предъявить железнодорожный состав, у которого нет определённого конца? Дайте посмотреть на такое чудо.
Кстати, неплохо бы дать определение железнодорожному составу. Что это такое? Как нам определить, имеем ли мы в двух случаях дело с одним и тем же составом или с разными? Для множеств на этот случай есть аксиома объёмности. Если уж Вы начали сравнивать железнодорожные составы с множествами, то для составов тоже нужно соответствующую аксиому сформулировать.

anik в сообщении #467922 писал(а):

Предъявите конкретный ряд натуральных чисел – посчитаем.

А самому слабо? Натуральный ряд - это множество всех натуральных чисел. По аксиоме объёмности, существует только один натуральный ряд.

anik в сообщении #467922 писал(а):

Природа сама по себе, а математика – тоже сама по себе?

Совершенно верно.

anik в сообщении #467922 писал(а):

Что же тогда изучает математика, образ мышления отдельных математиков?

Нет. Математика изучает логические конструкции.

anik в сообщении #467922 писал(а):

В «обоснование» бесконечности ряда натуральных чисел приводят иногда следующее рассуждение: к имеющемуся натуральному числу мы всегда можем прибавить единицу, получив следующее натуральное число. Такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд натуральных чисел бесконечен. Ошибка заключается в выделенной курсивом части рассуждения.
Рассмотрим аналогичное рассуждение. Допустим, мы выкладываем кости домино в ряд, чтобы потом, толкнув первую «доминушку», повалить весь ряд. К имеющемуся уже ряду, мы всегда сможем добавить очередную кость, такой процесс можно продолжать без конца, следовательно, ряд костей домино бесконечен.

Нет, это некорректная аналогия. Натуральные числа соответствуют не костям домино, а (конечным) рядам этих костей: из одной кости, из двух костей, из трёх, четырёх и т.д.. Но аналогия всё равно хромая, потому что для рядов из костей домино существенны физические ограничения, а для натуральных чисел физических ограничений нет.

[Xaositect]

В приведенном Вами доказательстве бесконечности множества натуральных чисел существенна именно та деталь, что прибавляя к натуральному числу единицу, мы получаем новое число. Никто не говорит, что какое-то натуральное число бесконечно - бесконечна лишь вся их последовательность.

Точно так же, в вашем примере о рядах домино, прибавляя одну кость, мы получаем новый ряд. Т.е. бесконечна получившая последовательность увеличиващихся рядов, а не какой-то ряд сам по себе.