(mod)
Проверил:
действительно, Правила форума не запрещают задавать вопросы про функцию распределения во время каникул.
Вообще, где можно найти какие-нибудь интересные нетривиальные свойства функции распределения?
Можно на заданную тему пофантазировать, например:
1) Из свойства

не вытекает существование математического ожидания, чему можно привести примеры.
2) Но свойство

для независимых и одинаково распределённых случайных величин

необходимо и достаточно для существования таких постоянных

, с которыми выполнен закон больших чисел:

(Феллер, 2-й том, гл. VII, параграф 7, теорема 1)
3) Аналогично, из существования

,

вытекает

при

, но не наоборот.
4) Зато существование момента

,

равносильно интегрируемости на положительной полуоси функции

или сходимости ряда

.
Много есть интересных задач (они же - свойства) о функциях распределения и т.п. в задачнике А.В.Прохорова, В.Г. и Н.Г. Ушаковых.