Некоторые свойства функции распределения

[ShMaxG]

Верно ли, что если существует матожидание случайной величины $X$, то

1. $xF(x) \to 0$ при $x \to -\infty$

2. $x(1-F(x)) \to 0$ при $x \to +\infty$

Например, для случая 2 и абсолютно непрерывного распределения $X$ имеем:

$\operatorname{E}(X) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c}xf(x)dx + \int\limits_{c}^{+\infty}xf(x)dx \ge \int\limits_{-\infty}^{c}xf(x)dx + c\int\limits_{c}^{+\infty}f(x)dx$. При $c>0$ тогда

$$ 0 \le c(1-F(c)) \le \operatorname{E}(X) - \int\limits_{-\infty}^{c}xf(x)dx \to 0, \,\,\,\, c \to +\infty$$

В англ. википедии зачем-то положительность $X$ требуют, может я чего проглядел.

Вообще, где можно найти какие-нибудь интересные нетривиальные свойства функции распределения?

[ewert]

ShMaxG в сообщении #467444 писал(а):

В англ. википедии зачем-то положительность $X$ требуют

А дайте ссылку. А то доказательство хоть и верное, но оформлено как-то странно.

Существование матожидания означает сходимость интеграла $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\,dF(x)$ на каждой из бесконечностей по отдельности. В частности, на плюс бесконечности это влечёт за собой

$\int\limits_{c}^{+\infty}x\,dF(x)\geqslant c\int\limits_{c}^{+\infty}dF(x)=c(1-F(c))\geqslant0.$

И поскольку левая часть стремится к нулю при $c\to+\infty$, это же верно и для правой. Случай минус бесконечности, с одной стороны, рассматривается аналогично, а с другой -- его можно и не рассматривать: он сводится к предыдущему отражениями по горизонтали и вертикали.

Что касается других свойств -- например: из предыдущего интегрированием по частям получается, что в случае существования матожидания функция распределения окажется интегрируемой, более точно: будут сходиться интегралы $\int\limits_{-\infty}^{0}F(x)\,dx$ и $\int\limits_{0}^{+\infty}(1-F(x))\,dx$.

[AKM]

(mod)

Проверил:
действительно, Правила форума не запрещают задавать вопросы про функцию распределения во время каникул.

[--mS--]

AKM в сообщении #467485 писал(а):

(mod)

Проверил:
действительно, Правила форума не запрещают задавать вопросы про функцию распределения во время каникул.

ShMaxG в сообщении #467444 писал(а):

Вообще, где можно найти какие-нибудь интересные нетривиальные свойства функции распределения?

Можно на заданную тему пофантазировать, например:

1) Из свойства $x\mathsf P(|X|\geqslant x)\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to+\infty} 0$ не вытекает существование математического ожидания, чему можно привести примеры.

2) Но свойство $x\mathsf P(|X_n|\geqslant x)\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to+\infty} 0$ для независимых и одинаково распределённых случайных величин $X_n$ необходимо и достаточно для существования таких постоянных $\mu_n$, с которыми выполнен закон больших чисел:

$$\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n} - \mu_n \,\stackrel{p}{\longrightarrow}\, 0.$$

(Феллер, 2-й том, гл. VII, параграф 7, теорема 1)

3) Аналогично, из существования $\mathsf EX^\alpha$, $\alpha>0$ вытекает $x^\alpha\mathsf P(|X|\geqslant x)\to 0$ при $x\to\infty$, но не наоборот.

4) Зато существование момента $\mathsf EX^\alpha$, $\alpha>0$ равносильно интегрируемости на положительной полуоси функции $x^{\alpha-1}(1-F(x)+F(-x))$ или сходимости ряда $\sum_{k\geqslant 1}k^{\alpha-1}\mathsf P(|X|\geqslant k)$.

Много есть интересных задач (они же - свойства) о функциях распределения и т.п. в задачнике А.В.Прохорова, В.Г. и Н.Г. Ушаковых.

[ShMaxG]

ewert в сообщении #467468 писал(а):

А дайте ссылку. А то доказательство хоть и верное, но оформлено как-то странно.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cumulative ... n_function в разделе Complementary cumulative distribution function (tail distribution). Ну, может это громко сказано, "требуют", но почему бы им интегралы вычислять не от минус бесконечности?

--mS--
О, спасибо!

[ewert]

ShMaxG в сообщении #467646 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Cumulative ... n_function в разделе Complementary cumulative distribution function (tail distribution). Ну, может это громко сказано, "требуют", но почему бы им интегралы вычислять не от минус бесконечности?

Ну, им, видимо, просто лень было лишние слова произносить (и напрасно). А вот что считают не от минус бесконечности -- это как раз очень правильно: поведение на плюс бесконечности никак не связано с тем, что происходит на минус.

[--mS--]

ewert в сообщении #467468 писал(а):

Что касается других свойств -- например: из предыдущего интегрированием по частям получается, что в случае существования матожидания функция распределения окажется интегрируемой, более точно: будут сходиться интегралы $\int\limits_{-\infty}^{0}F(x)\,dx$ и $\int\limits_{0}^{+\infty}(1-F(x))\,dx$.

Для ТС: к тому же в этом случае математическое ожидание есть просто разность этих двух интегралов - второй минус первый.