Система из параболического уравнения и ОДУ первого порядка

[l1pton17]

Имеется система, состоящая из параболического уравненения(1 штука) и ОДУ первого порядка(n штук):
$\begin{cases}A\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial t}=B\frac{\partial^2 T_{\text{п}}}{\partial x^2}+C\frac{\partial^2 T_{\text{п}}}{\partial y^2}+\sum^{n}_{i=1}D_i(T_i-T_{\text{п}})+E-FT^4_{\text{п}}\\G_1\frac{\partial T_1}{\partial t}=N_1-D_1(T_1-T_{\text{п}})\\...\\G_n\frac{\partial T_n}{\partial t}=N_n-D_n(T_n-T_{\text{п}})\end{cases}$
$T_{\text{п}}$(обозначает парабол-ое ур-ие) и $T_n$(входит в сис-му ОДУ 1ого порядка) - разные вещи.
с начальными и граничными условиями:
$x=0,~y\in(0;H)~\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial y}=0$
$x=L,~y\in(0;H)~\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial y}=0$
$y=0,~x\in(0;L)~\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial x}=0$
$y=H~x\in(0;L)~\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial x}=0$
$T_i=293~i=\overline{1,n}$
Мне интересно как можно вообще решить такую систему(аналитическим и численным методом)? Как бы по отдельности (параболическое и систему ОДУ) я могу решить, но когда они связаны у меня нет идей. И есть ли численный метод решения таких систем(опять же, по отдельности численные методы знаю, но для совокупности...).

Навсякий случай, вот ещё фотографии:

[sup]

А Вы представьте, что и в ОДУ тоже есть "Лаплас", только с нулевым множителем Тогда это будет похоже на систему из уравнений теплопроводности.
Ну а как решать? Да как обычно, пишите разностные схемы и дело с концом. Если у Вас константы "нужного" знака, то проблем не будет.

[l1pton17]

Спасибо большое.
Можете дать ссылку про численный метод решения систем из уравнений теплопроводности?

Цитата:

константы "нужного" знака

Вы говорите про совпадание знаков перед диффернциалами?

[sup]

Цитата:

Вы говорите про совпадание знаков перед диффернциалами?

Речь идет о знаках $A,B,C,F$. Они должны быть одного знака. Знаки $D_i$ не так важны. Никаких "специальных" методов решения Вам не надо. Например, просто заменяйте производные на их разностные аналоги. Короче, как бы Вы решали каждое из уравнений по отдельности? Вот и делайте то же самое но только вместе.

[l1pton17]

Всё бы хорошо, но эти уравнения связаны, в $T_{\text{п}}$ есть $T_i$-ые, а в $T_i$ есть $T_{\text{п}}$. Меня вообще путает.

[sup]

l1pton17 в сообщении #467516 писал(а):

Всё бы хорошо, но эти уравнения связаны, в $T_{\text{п}}$ есть $T_i$-ые, а в $T_i$ есть $T_{\text{п}}$.

Ну и что? В системе ОДУ тоже в каждом уравнении присутствует куча "чужих" переменных. И ничего, все в порядке.

-- Вт июл 12, 2011 14:46:51 --

Для явной схемы вообще не видно никаких проблем. А для неявной .... Нууууууууу может матрица немного необычная ...

[Vince Diesel]

Есть какой-то метод, вроде называется проекционный, который сводит численное решение параболических задач к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по переменной $t$. Может, этот метод здесь в тему, поскольку тогда вся система после сведения только первого уравнения будет иметь такой вид. К тому же системы ОДУ сейчас решают многие матпакеты.

[l1pton17]

ещё $T_{\text{п}}$ зависит от переменых t,x,y. А $T_i$ только от t

[sup]

l1pton17 в сообщении #467525 писал(а):

ещё $T_{\text{п}}$ зависит от переменых t,x,y. А $T_i$ только от t

Ну и что?
Представим себе на секунду, что $T_i$ уже найдены. Ну как-то так вот, найдены и все. Составляем разностную схему для параболического уравнения. В него как-то войдут значения $T_i$. Ну да ... они не зависят от $x$, ну и что. А если бы в уравнении была бы правая часть, и тоже не зависела бы от $x$? Неужели это бы Вас так смутило?
Еще раз повторяю, для явной схемы вообще никаких проблем нет. Решение на каждом слое получаем подставляя в правую часть значения из предыдущего слоя. И какие проблемы?

-- Вт июл 12, 2011 15:27:27 --

Мммммммммм кажется понял ... Немного увлекся. В ОДУ есть зависимость от решения параболического уравнения, а оно зависит от $x$. Но в Вашем случае начальные данные от $x$ не зависят, поэтому и все решение не будет зависеть от $x$. Таким образом получится просто система ОДУ

[l1pton17]

Можно заменить пара-ое:
$A\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial t}=B\frac{\partial^2 T_{\text{п}}}{\partial x^2}+C\frac{\partial^2 T_{\text{п}}}{\partial y^2}+\sum^{n}_{i=1}D_i(T_i-T_{\text{п}})+E-FT^4_{\text{п}}$
на
$\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial t}=\frac{\partial^2 T_{\text{п}}}{\partial \xi^2}+\frac1\xi\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial \xi}+\sum^{n}_{i=1}\frac{D_i}{A}(T_i-T_{\text{п}})+\frac{E}{A}-\frac{F}{A}T^4_{\text{п}}$
$\xi^2=\frac{A}{B}+\frac{A}{C}$

-- 12.07.2011, 13:33 --

Ну вот допустим, щас я запишу ОДУ заменяя производные на разностные схемы, то есть буду пробывать найти значения $T_i$ в разные моменты времени(численым методом), но у меня будет неизестная $T_{\text{п}}$, то есть численый ответ я не получу и меня это вгоняет в печаль.
Кстати, мне говорили, что сначала надо как-то ОДУ решить и затем как-то параболическое и ответ вытекает из начальных и граничных условий.

[sup]

Рассмотрим первое же уравнение.
$G_1\frac{\partial T_1}{\partial t}=N_1-D_1(T_1-T_{\text{п}})$
Это уравнение может иметь смысл только лишь в двух случаях: либо $T_1$ зависит от $x$ либо $T_{\text{п}}$ не зависит от $x$.
Легко видеть, что выполнено второе условие. Поэтому вместо параболического уравнения получается ОДУ (надо просто "выкинуть" из него пространственные производные)

[Vince Diesel]

Поучему $T_i$ зависит только от $t$? Предположим, что $T_{п}(x,y,t)$ найдено. Подставляя различные значения $(x,y)$ в слагаемое $T_i-T_{п}(x,y,t)$, будем получать разные решения $T_i(x,y,t)$.

[l1pton17]

Точно! Сначала выкидываю из Tп производные по x и y. Решаю ОДУ. Затем Подставляя найденные значения, решаю неявной схемой параболическое!

[sup]

Получится система
$\begin{cases}A\frac{\partial T_{\text{п}}}{\partial t}=\sum^{n}_{i=1}D_i(T_i-T_{\text{п}})+E-FT^4_{\text{п}}\\G_1\frac{\partial T_1}{\partial t}=N_1-D_1(T_1-T_{\text{п}})\\...\\G_n\frac{\partial T_n}{\partial t}=N_n-D_n(T_n-T_{\text{п}})\end{cases}$

[l1pton17]

Vince Diesel
В данном случае(с физ-ой стороны) Ti - это прибор, который выдает температуру, которая зависит только от времени, но не от положения в пространстве.

-- 12.07.2011, 13:42 --

sup
дадада!