Матан. Исследовать на равномерную непрерывность

[Городецкий Павел]

\[ \sqrt {(1 - \cos (\sqrt x ))/x}\]

при

\[x \in (0, + \infty )\]

Я начал решать так
1. Так как

\[\cos (x)\]

ограниченная функция, то

\[ \sqrt {\frac{{1 - \cos (\sqrt x ))}}{x}} < \sqrt {2/x} \]

2. А далее для

\[\sqrt {2/x} \]

имеем при

\[x \in (1, + \infty )\]

она равномерно-непрерывна т.к.

\[\left| {f(x_1 ) - f(x_2 )} \right| = \left| {\frac{1}{{\sqrt {x_1 } }} - \frac{1}{{\sqrt {x_2 } }}} \right| = \frac{{\left| {x_2 - x_1 } \right|}}{{\sqrt {x_1 x_2 (x_1 + x_2 )} }} < \frac{\delta }{{\sqrt {x_1 x_2 (x_1 + x_2 )} }} < \delta = \varepsilon \]

3. А при

\[x \in (0,1)\]

можно решить путем замены на эквивалентные т.е.

\[\sqrt {\frac{{1 - \cos (\sqrt x )}}{x}} \sim \sqrt {\frac{{1 - 1 + x/2}}{x}} \sim \sqrt {1/2} \]

следовательно такие

\[\delta \]

и

\[\varepsilon\]

обязательно найдутся, для которых выполнено определение для равномерной непрерывности

Но мне кажется что все это не правильно

[Dan_Te]

Да, это не очень правильно. Потому что если $|f(x)|<g(x)$, обе они непрерывны (на каком-то множестве), и $g(x)$ равномерно непрерывна, то из этого еще не следует, что $f(x)$ тоже равномерно непрерывна, легко привести соответствующий контрпример ($g(x)=|x|, f(x)=x\sin x$ на $\mathbb R$).

В данной задаче проблемы могут быть в нуле и на бесконечности, в остальных местах функция непрерывна и работает теорема Кантора-Гейне (если я правильно помню название). В нуле ее можно доопределить до непрерывной (это вы уже показали), поэтому в правых окрестностях нуля будет равномерная непрерывность.

Дальше на $[1,\infty)$ (или на любом промежутке, отделенном от нуля) хочется снять верхний корень, можно попробовать применить вот такое рассуждение:
1) композиция двух равномерно функций равномерно непрерывна
2) Подкоренная функция ограничена (это вы уже показали), ее образ на $[1,\infty)$ - это отрезок
3) Корень - равномерно непрерывная функция на отрезке.
Это значит, что для равномерной непрерывности исходной функции достаточно показать равномерную непрерывность подкоренной функции.

И наконец, для подкоренной функции можно воспользоваться тем, что любая непрерывно дифференцируемая функция с ограниченной производной равномерно непрерывна, так что надо продифференцировать подкоренную функцию и проверить ограниченность производной на $[1,\infty)$.

[bot]

Вот из того, что мажоранта равномерно непрерывна не следует, что равномерно непрерывна миноранта.
В принципе ход верный - существует предел на бесконечности и в нуле. Отсюда всё и следует.
Можно также, хотя и хлопотно, взять производную и убедиться в ёё ограниченности.
Отсюда функция окажется липшицевой и вуаля.