2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матан. Исследовать на равномерную непрерывность
Сообщение25.12.2006, 15:33 


25/12/06
63
\[
\sqrt {(1 - \cos (\sqrt x ))/x}\] при \[x \in (0, + \infty )\]
Я начал решать так
1. Так как \[\cos (x)\] ограниченная функция, то \[
\sqrt {\frac{{1 - \cos (\sqrt x ))}}{x}}  < \sqrt {2/x} \]
2. А далее для \[\sqrt {2/x} \] имеем при \[x \in (1, + \infty )\] она равномерно-непрерывна т.к. \[\left| {f(x_1 ) - f(x_2 )} \right| = \left| {\frac{1}{{\sqrt {x_1 } }} - \frac{1}{{\sqrt {x_2 } }}} \right| = \frac{{\left| {x_2  - x_1 } \right|}}{{\sqrt {x_1 x_2 (x_1  + x_2 )} }} < \frac{\delta }{{\sqrt {x_1 x_2 (x_1  + x_2 )} }} < \delta  = \varepsilon \]
3. А при \[x \in (0,1)\] можно решить путем замены на эквивалентные т.е. \[\sqrt {\frac{{1 - \cos (\sqrt x )}}{x}}  \sim \sqrt {\frac{{1 - 1 + x/2}}{x}}  \sim \sqrt {1/2} \] следовательно такие \[\delta \] и \[\varepsilon\] обязательно найдутся, для которых выполнено определение для равномерной непрерывности

Но мне кажется что все это не правильно
:(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 16:50 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Да, это не очень правильно. Потому что если $|f(x)|<g(x)$, обе они непрерывны (на каком-то множестве), и $g(x)$ равномерно непрерывна, то из этого еще не следует, что $f(x)$ тоже равномерно непрерывна, легко привести соответствующий контрпример ($g(x)=|x|, f(x)=x\sin x$ на $\mathbb R$).

В данной задаче проблемы могут быть в нуле и на бесконечности, в остальных местах функция непрерывна и работает теорема Кантора-Гейне (если я правильно помню название). В нуле ее можно доопределить до непрерывной (это вы уже показали), поэтому в правых окрестностях нуля будет равномерная непрерывность.

Дальше на $[1,\infty)$ (или на любом промежутке, отделенном от нуля) хочется снять верхний корень, можно попробовать применить вот такое рассуждение:
1) композиция двух равномерно функций равномерно непрерывна
2) Подкоренная функция ограничена (это вы уже показали), ее образ на $[1,\infty)$ - это отрезок
3) Корень - равномерно непрерывная функция на отрезке.
Это значит, что для равномерной непрерывности исходной функции достаточно показать равномерную непрерывность подкоренной функции.

И наконец, для подкоренной функции можно воспользоваться тем, что любая непрерывно дифференцируемая функция с ограниченной производной равномерно непрерывна, так что надо продифференцировать подкоренную функцию и проверить ограниченность производной на $[1,\infty)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Вот из того, что мажоранта равномерно непрерывна не следует, что равномерно непрерывна миноранта.
В принципе ход верный - существует предел на бесконечности и в нуле. Отсюда всё и следует.
Можно также, хотя и хлопотно, взять производную и убедиться в ёё ограниченности.
Отсюда функция окажется липшицевой и вуаля.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group