2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Матан. Исследовать на равномерную непрерывность
Сообщение25.12.2006, 15:33 
\[
\sqrt {(1 - \cos (\sqrt x ))/x}\] при \[x \in (0, + \infty )\]
Я начал решать так
1. Так как \[\cos (x)\] ограниченная функция, то \[
\sqrt {\frac{{1 - \cos (\sqrt x ))}}{x}}  < \sqrt {2/x} \]
2. А далее для \[\sqrt {2/x} \] имеем при \[x \in (1, + \infty )\] она равномерно-непрерывна т.к. \[\left| {f(x_1 ) - f(x_2 )} \right| = \left| {\frac{1}{{\sqrt {x_1 } }} - \frac{1}{{\sqrt {x_2 } }}} \right| = \frac{{\left| {x_2  - x_1 } \right|}}{{\sqrt {x_1 x_2 (x_1  + x_2 )} }} < \frac{\delta }{{\sqrt {x_1 x_2 (x_1  + x_2 )} }} < \delta  = \varepsilon \]
3. А при \[x \in (0,1)\] можно решить путем замены на эквивалентные т.е. \[\sqrt {\frac{{1 - \cos (\sqrt x )}}{x}}  \sim \sqrt {\frac{{1 - 1 + x/2}}{x}}  \sim \sqrt {1/2} \] следовательно такие \[\delta \] и \[\varepsilon\] обязательно найдутся, для которых выполнено определение для равномерной непрерывности

Но мне кажется что все это не правильно
:(

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 16:50 
Да, это не очень правильно. Потому что если $|f(x)|<g(x)$, обе они непрерывны (на каком-то множестве), и $g(x)$ равномерно непрерывна, то из этого еще не следует, что $f(x)$ тоже равномерно непрерывна, легко привести соответствующий контрпример ($g(x)=|x|, f(x)=x\sin x$ на $\mathbb R$).

В данной задаче проблемы могут быть в нуле и на бесконечности, в остальных местах функция непрерывна и работает теорема Кантора-Гейне (если я правильно помню название). В нуле ее можно доопределить до непрерывной (это вы уже показали), поэтому в правых окрестностях нуля будет равномерная непрерывность.

Дальше на $[1,\infty)$ (или на любом промежутке, отделенном от нуля) хочется снять верхний корень, можно попробовать применить вот такое рассуждение:
1) композиция двух равномерно функций равномерно непрерывна
2) Подкоренная функция ограничена (это вы уже показали), ее образ на $[1,\infty)$ - это отрезок
3) Корень - равномерно непрерывная функция на отрезке.
Это значит, что для равномерной непрерывности исходной функции достаточно показать равномерную непрерывность подкоренной функции.

И наконец, для подкоренной функции можно воспользоваться тем, что любая непрерывно дифференцируемая функция с ограниченной производной равномерно непрерывна, так что надо продифференцировать подкоренную функцию и проверить ограниченность производной на $[1,\infty)$.

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 16:54 
Аватара пользователя
Вот из того, что мажоранта равномерно непрерывна не следует, что равномерно непрерывна миноранта.
В принципе ход верный - существует предел на бесконечности и в нуле. Отсюда всё и следует.
Можно также, хотя и хлопотно, взять производную и убедиться в ёё ограниченности.
Отсюда функция окажется липшицевой и вуаля.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group