Задачи из Кострикина (помогите разобраться)

[Quant]

Помогите пожалуйста разобраться с двумя задачами:
1. Изоморфны ли поля $\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ и $\mathbb{Q} (\sqrt{5})$ ? У меня такое ощущение, что нет..

2.Установить коммутативность произвольного кольца,в котором каждый элемент $x$ удовлетворяет уравнению $x^2=x$ . Верно ли это при $x^3=x$ ?

-- 06.07.2011, 22:39 --

По второй задаче смог доказать, что $(xy)^n=x^n y^n$. Отсюда можно что-то выкрутить?

[мат-ламер]

Насчёт первой задачи. В первом поле есть элемент, который при возведении в квадрат равен двойке. Ну и какому элементу второго поля должен соответствовать этот элемент при изоморфизме?

[Quant]

Ну а если мы нашли изоморфизм такой, что $f(\sqrt{2})=\sqrt{5}$. Тогда например в $5$ перейдет. Вроде норм. Или я что-то не допонял...

[arqady]

Quant в сообщении #465866 писал(а):

2.Установить коммутативность произвольного кольца,в котором каждый элемент $x$ удовлетворяет уравнению $x^2=x$ .

Воспользуйтесь двумя тождествами:
$(x+y)^2=x+y$ и $(x+x)^2=x+x$.

Quant в сообщении #465866 писал(а):

Верно ли это при $x^3=x$ ?

Что мы понимаем под $x^3$? То бишь мы уже не в произвольном, а в альтернативном кольце, например?

[alex1910]

Quant в сообщении #465887 писал(а):

Ну а если мы нашли изоморфизм такой, что $f(\sqrt{2})=\sqrt{5}$. Тогда например в $5$ перейдет. Вроде норм. Или я что-то не допонял...

"Не допоняли". Изоморфизм - это биективный гомоморфизм, т.е. биекция, сохраняющая обе операции кольца. Поэтому f(0)=0; f(1)=1 --> f(2)=f(1+1)=
=f(1)+f(1)=2, а у Вас получится f(2)=5, чего никак быть не может.

[Quant]

Из $(x+y)^2=(x+y)$ получил, что $xy+yx=0$...

[arqady]

Quant в сообщении #465916 писал(а):

Из $(x+y)^2=(x+y)$ получил, что $xy+yx=0$...

Осталось доказать, что $yx+yx=0$. Для доказательства воспользуйтесь нужной Вам интерпретацией тождества $x^2=x$.

[Quant]

Вроде получилось:
$x+yx+yx+y=x^2+yx+yx+y^2=x(x+y)+y(y+x)=x(x+y)+y(x+y)=(x+y)^2=x+y$.
Тогда $yx+yx=0$.
Спасибо

-- 07.07.2011, 09:29 --

alex1910, спасибо

[arqady]

Quant в сообщении #465974 писал(а):

$x^2+yx+yx+y^2=x(x+y)+y(y+x)$.

Почему это верно?

[alex1910]

Quant в сообщении #465974 писал(а):

Вроде получилось:
$x+yx+yx+y=x^2+yx+yx+y^2=x(x+y)+y(y+x)=x(x+y)+y(x+y)=(x+y)^2=x+y$.
Тогда $yx+yx=0$.
Спасибо

-- 07.07.2011, 09:29 --

alex1910, спасибо

Сложно и неверно, как замечено постом ниже.
Доказали, что xy+yx=0 - ок.
Теперь докажите, что характеристика кольца равна 2 - и все получится.

UPD. Сорри, Arcady написал тоже самое несколько постов тому назад.

[Quant]

Все я кажется понял. Из того что писал arqady:

Цитата:

$(x+x)^2=x+x $

следует, что $2x=0$ и характеристика кольца равна $2$, т.е. $yx+yx=0$, так?

[arqady]

Да.

[Quant]

Понятно, спасибо )

[Gargantua]

В будущем все еще решают задачи из Кострикина, и не могут найти контрпример в случае $x^3 = x,\, xy\ne yx$. Есть идеи?

[beroal]

Gargantua в сообщении #1392230 писал(а):

В будущем все еще решают задачи из Кострикина, и не могут найти контрпример в случае $x^3 = x,\, xy\ne yx$. Есть идеи?

У меня получилось, что в этом кольце $6=0$. Множество каких-то матриц с коэффициентами в $\mathbb{Z}_6$?