2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение06.07.2011, 21:15 


03/07/11
45
Помогите пожалуйста разобраться с двумя задачами:
1. Изоморфны ли поля $\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ и $\mathbb{Q} (\sqrt{5})$ ? У меня такое ощущение, что нет..

2.Установить коммутативность произвольного кольца,в котором каждый элемент $x$ удовлетворяет уравнению $x^2=x$ . Верно ли это при $x^3=x$ ?

-- 06.07.2011, 22:39 --

По второй задаче смог доказать, что $(xy)^n=x^n y^n$. Отсюда можно что-то выкрутить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение06.07.2011, 21:52 
Заслуженный участник


30/01/09
5058
Насчёт первой задачи. В первом поле есть элемент, который при возведении в квадрат равен двойке. Ну и какому элементу второго поля должен соответствовать этот элемент при изоморфизме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение06.07.2011, 21:56 


03/07/11
45
Ну а если мы нашли изоморфизм такой, что $f(\sqrt{2})=\sqrt{5}$. Тогда например в $5$ перейдет. Вроде норм. Или я что-то не допонял...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.07.2011, 22:16 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Quant в сообщении #465866 писал(а):

2.Установить коммутативность произвольного кольца,в котором каждый элемент $x$ удовлетворяет уравнению $x^2=x$ .

Воспользуйтесь двумя тождествами:
$(x+y)^2=x+y$ и $(x+x)^2=x+x$. :wink:
Quant в сообщении #465866 писал(а):
Верно ли это при $x^3=x$ ?

Что мы понимаем под $x^3$? То бишь мы уже не в произвольном, а в альтернативном кольце, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение06.07.2011, 22:45 


21/07/10
555
Quant в сообщении #465887 писал(а):
Ну а если мы нашли изоморфизм такой, что $f(\sqrt{2})=\sqrt{5}$. Тогда например в $5$ перейдет. Вроде норм. Или я что-то не допонял...


"Не допоняли". Изоморфизм - это биективный гомоморфизм, т.е. биекция, сохраняющая обе операции кольца. Поэтому f(0)=0; f(1)=1 --> f(2)=f(1+1)=
=f(1)+f(1)=2, а у Вас получится f(2)=5, чего никак быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение06.07.2011, 23:00 


03/07/11
45
Из $(x+y)^2=(x+y)$ получил, что $xy+yx=0$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение07.07.2011, 06:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Quant в сообщении #465916 писал(а):
Из $(x+y)^2=(x+y)$ получил, что $xy+yx=0$...

Осталось доказать, что $yx+yx=0$. :wink: Для доказательства воспользуйтесь нужной Вам интерпретацией тождества $x^2=x$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение07.07.2011, 08:28 


03/07/11
45
Вроде получилось:
$x+yx+yx+y=x^2+yx+yx+y^2=x(x+y)+y(y+x)=x(x+y)+y(x+y)=(x+y)^2=x+y$.
Тогда $yx+yx=0$.
Спасибо :-)

-- 07.07.2011, 09:29 --

alex1910, спасибо :-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.07.2011, 10:37 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Quant в сообщении #465974 писал(а):
$x^2+yx+yx+y^2=x(x+y)+y(y+x)$.

Почему это верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение07.07.2011, 12:21 


21/07/10
555
Quant в сообщении #465974 писал(а):
Вроде получилось:
$x+yx+yx+y=x^2+yx+yx+y^2=x(x+y)+y(y+x)=x(x+y)+y(x+y)=(x+y)^2=x+y$.
Тогда $yx+yx=0$.
Спасибо :-)

-- 07.07.2011, 09:29 --

alex1910, спасибо :-)


Сложно и неверно, как замечено постом ниже.
Доказали, что xy+yx=0 - ок.
Теперь докажите, что характеристика кольца равна 2 - и все получится.

UPD. Сорри, Arcady написал тоже самое несколько постов тому назад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение07.07.2011, 14:16 


03/07/11
45
Все я кажется понял. Из того что писал arqady:
Цитата:
$(x+x)^2=x+x $
следует, что $2x=0$ и характеристика кольца равна $2$, т.е. $yx+yx=0$, так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.07.2011, 14:51 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение07.07.2011, 15:37 


03/07/11
45
Понятно, спасибо )

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение10.05.2019, 21:25 


04/06/17
43
В будущем все еще решают задачи из Кострикина, и не могут найти контрпример в случае $x^3 = x,\, xy\ne yx$. Есть идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из Кострикина (помогите разобраться)
Сообщение09.05.2020, 13:28 
Аватара пользователя


17/04/11
656
Ukraine
Gargantua в сообщении #1392230 писал(а):
В будущем все еще решают задачи из Кострикина, и не могут найти контрпример в случае $x^3 = x,\, xy\ne yx$. Есть идеи?

У меня получилось, что в этом кольце $6=0$. Множество каких-то матриц с коэффициентами в $\mathbb{Z}_6$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group