Энтропия и гравитация

[Lesobrod]

Недавно "врубился" в идеи Пенроуза ("Путь к реальности", гл. 27-28)
о связи энтропии, стрелы времени и гравитации. Но даже если кто не в курсе (тем более эти идеи считаются спорными), существует "простое" утверждение, которое Пенроуз считает известным и доказанным -
"В системе гравитирующих тел с изначально однородным распределением
происходит увеличение малых флуктуаций, сближение тел (вплоть до коллапса) и рост энтропии.
Максимальную энтропию будет иметь черная дыра, вобравшая в себя все тела." (рис. 27.10 в книге)
Не заморачиваясь пока черными дырами, хотелось бы получить оценку энтропии некоего газа, в котором гравитация будет играть заметную роль. Пусть это будет воображаемый газ с малыми по размерам, но очень тяжелыми молекулами. Как оценить изменение энтропии, связанные с гравитационной конденсацией?
Методом размерностей ))) у меня получилось

$$S\sim \frac{kmG}{lv^2}$$

, где $m$ - масса молекул, а $l$ - характерный размер сгустка. Хотелось бы получить что-то подобное более научно ))

[EvilPhysicist]

Lesobrod в сообщении #465329 писал(а):

Недавно "врубился" в идеи Пенроуза ("Путь к реальности", гл. 27-28)

(Оффтоп)

что-то это ничего хорошего не предвещает

Lesobrod в сообщении #465329 писал(а):

Не заморачиваясь пока черными дырами, хотелось бы получить оценку энтропии некоего газа, в котором гравитация будет играть заметную роль

Берите распределение Гиббса, какой-нибудь из модельных потенциалов и вычитывайте.
Распределение Гиббса $ f= A e^{\frac{H}{kT} $в Ландавшице написано как оттуда получить энтропию.

[Munin]

Lesobrod в сообщении #465329 писал(а):

существует "простое" утверждение, которое Пенроуз считает известным и доказанным

Читайте в учебниках и энциклопедиях про неустойчивость Джинса.

[Lesobrod]

Про Джинса я давно читал. Но про энтропию обычно как-то смутно говорится.
А моя попытка самому вывести энтропию однородного газового шара натолкнулась на интеграл вида

$$\int_{0}^{R} r^2e^{-\frac{a}{r}} dr$$

, где $a$ не мало и не велико.
Получается очень громоздко. Может, как-то можно оценить энтропию такого шара с параметрами $M, T, R$?
Должно получится нечто вроде $\frac{GM}{RT}$

[EvilPhysicist]

Lesobrod в сообщении #465865 писал(а):

Но про энтропию обычно как-то смутно говорится.

Откройте любой учебник по статистической физике и термодинамике. Более чем уверен, там ей отдельная глава посвящена.

Lesobrod в сообщении #465865 писал(а):

Может, как-то можно оценить энтропию такого шара

Энтропия эта характеристика системы многих тел. Тел в ней должно быть порядка $ 10^{23 }$ штук. МОжно сказать, что энтропия это количество вариантов, которыми данное колличество молекул, при данной температуре могут быть размещены в данном объёме при данном распределении скоростей.

[Munin]

Lesobrod в сообщении #465865 писал(а):

Получается очень громоздко. Может, как-то можно оценить

Грубо можно заменить экспоненту на отрицательной полуоси на функцию

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x,\quad&x\in[-1,0]\\0,&x<-1\end{array}\right.,$$

или даже грубее, на функцию

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1,\quad&x\in[-1,0]\\0,&x<-1\end{array}\right.,$$

для качественных оценок они вполне сгодятся.

Когда я спросил в своё время старших товарищей, что там с энтропией в случае неустойчивости Джинса, мне посоветовали вспомнить, что газ сжимается не изотермически, а адиабатически, а где рост температуры - там и рост энтропии, так что в итоге всё хорошо получается.

[Nikolay1985]

Lesobrod в сообщении #465865 писал(а):

Про Джинса я давно читал. Но про энтропию обычно как-то смутно говорится.
А моя попытка самому вывести энтропию однородного газового шара натолкнулась на интеграл вида

$$\int_{0}^{R} r^2e^{-\frac{a}{r}} dr$$

, где $a$ не мало и не велико.
Получается очень громоздко...

- А вы попробуйте взять справочник Градштейна и Рыжика по интегралам. В книге решены несколько тысяч интегралов в общем виде. Вид интересующего вас интеграла там тоже имеется...
Справочник лежит в инете в свободном доступе