Помогите решить дифференциальное уравнение

[petia.p]

$y'y'''-(y'')^2-3(y')^2y''-4(y')^4=-16y(y')^3$
$y(0)=0, y'(0)=-3, y''(0)=12$
Записал $y'=p$, от чего получил
$p''-3p'-4p=-16y$
Не уверен что это правильно, так как дальше ни чего не выходит.

[Sonic86]

petia.p в сообщении #465538 писал(а):

Записал $y'=p$

Такая замена используется лишь в случае, когда в уравнении нет $y$, т.е. для $F(y',y'',...,y^{(n)})=0$.
Возможно, левую часть можно как-то свернуть, поскольку она "однородна" по сумме порядков производных у одночленов.

[petia.p]

Sonic86 в сообщении #465540 писал(а):

petia.p в сообщении #465538 писал(а):

Записал $y'=p$

Такая замена используется лишь в случае, когда в уравнении нет $y$, т.е. для $F(y',y'',...,y^{(n)})=0$.
Возможно, левую часть можно как-то свернуть, поскольку она "однородна" по сумме порядков производных у одночленов.

Простите за наглость, но я в последние дни прорешал не мало уравнений такого типа, где нет $x$. И всегда пользовался этой заменной.
$y'=p$
$y''=pp'$
$y'''=p(p')^2+p^2p''$

[Sonic86]

petia.p в сообщении #465547 писал(а):

Простите за наглость, но я в последние дни прорешал не мало уравнений такого типа, где нет $x$. И всегда пользовался этой заменной.
$y'=p$
$y''=pp'$
$y'''=p(p')^2+p^2p''$

Ой! Я вру. Я забыл, что $p=p(y)$.
Так тогда у Вас получается обычное линейное неоднородное диффуравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью справа. Решается как обычно - характеристическое уравнение, однородное общее решение, неоднородное частное решение и все

[petia.p]

Если бы окончательное уравнение было бы:
$y''+ay'+by=f(x)$
то это действительно было бы легко. Получилось бы
$y(x)=y(x)_h+y(x)_p$
Но у меня выходит
$p(y)=p_h+p_p$
А мне нужно
$y(x)=...$

[Sonic86]

petia.p в сообщении #465561 писал(а):

Но у меня выходит
$p(y)=p_h+p_p$
А мне нужно
$y(x)=...$

Все-таки нужно найти $y'=p(y)=p_h+p_p$ в явном виде и проинтегрировать полученный диффур, тогда может получится $y=y(x)$.

[myra_panama]

Sonic86 , чуть чуть не уверен , НО как бы я не стараюсь, не могу привести уравнение в полной производной ,,,, ... может лучше этого не сделать а?

[sup]

Может быть ошибка в условии? Если $y''(0)=-12$, то
$y'=4y-3$

[Sonic86]

sup в сообщении #465653 писал(а):

Может быть ошибка в условии? Если $y''(0)=-12$, то
$y'=4y-3$

Да, я тоже сейчас попробовал, тоже пришел к такому мнению Иначе вряд ли мы получающийся интеграл возьмем. Т.е. надо найти общее решение, а потом искать константы исходя из начальных условий.

[petia.p]

sup в сообщении #465653 писал(а):

Может быть ошибка в условии? Если $y''(0)=-12$, то
$y'=4y-3$

Простите, действительно $y''(0)=-12$
Получил такое общее решение
$p=y'=C_1e^y+C_2e^{-4y}-8y+8$
Нашел $y''=...$
И от системы двух уравнений, нашел $C_1=-\frac{78}{5}, C_2=\frac{23}{5}$
Получается
$y'=-\frac{78}{5}e^y+\frac{23}{5}e^{-4y}-8y+8$
А что теперь?

[phys]

Подставляйте и интегрируйте! $y$ вроде как дан.

Чтобы не смущало отсутствие x запишите уравнение в виде:

$y'=-\frac{78}{5}e^{y(x)}+\frac{23}{5}e^{-4y(x)}-8y(x)+8$

[sup]

petia.p
Константы при экспонентах Вы нашли неправильно. Должны получиться нули и все сведется к уравнению
$y'=4y-3$
Да прямо для него проверьте начальные условия и сами все увидите.

-- Ср июл 06, 2011 14:57:01 --

Мммммммммм ... дык это Вы неправильно общее решение выписали. Должно быть
$p=C_1e^{4y} + C_2e^{-y} +4y-3$

[petia.p]

sup в сообщении #465700 писал(а):

petia.p
Константы при экспонентах Вы нашли неправильно. Должны получиться нули и все сведется к уравнению
$y'=4y-3$
Да прямо для него проверьте начальные условия и сами все увидите.

-- Ср июл 06, 2011 14:57:01 --

Мммммммммм ... дык это Вы неправильно общее решение выписали. Должно быть
$p=C_1e^{4y} + C_2e^{-y} +4y-3$

Все верно! Моя невнимательность меня погубит.
$y'=4y-3$
$\frac{1}{4}\ln {(4y-3)}=x+C$
$y=Ce^{4x}+\frac{3}{4}$
$y(0)=0$
$C=-\frac{3}{4}$
$y=-\frac{3}{4}e^{4x}+\frac{3}{4}$
Вроде, теперь правильно.
Всем огромоное спасибо за помощь!