2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычисление объемов многогранников
Сообщение03.07.2011, 21:30 


03/07/11
24
Определение объемов многогранников (не обязательно правильных) по известным расстояниям между вершинами.

Можно ли с помощью определителя матрицы этих расстояний определить объем ЛЮБОГО многогранника, кроме тетраэдра(Определитель Кэли-Менгера)?Приведите, пожалуйста, примеры. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение03.07.2011, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Almazov в сообщении #464851 писал(а):
Можно ли с помощью определителя матрицы этих расстояний определить объем ЛЮБОГО многогранника



нельзя... дело в том, что четырехвершинник в трехмерном пространстве либо плоский, либо выпуклый (в любом случае объем определен однозначно). А 100-вершинников (без самопересечений) с одинаковыми попарными расстояниями -- дофига

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение03.07.2011, 21:49 


03/07/11
24
А есть такие определители для правильных многогранников(кроме тетраэдра)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение03.07.2011, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Almazov в сообщении #464861 писал(а):
А есть такие определители для правильных многогранников(кроме тетраэдра)?



вручную... уж коли они правильные)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение03.07.2011, 21:58 


03/07/11
24
alcoholist в сообщении #464862 писал(а):
Almazov в сообщении #464861 писал(а):
А есть такие определители для правильных многогранников(кроме тетраэдра)?



вручную... уж коли они правильные)


Очень смешно! А то я не знаю этих стандартных формул! Хочется чего-то более экзотичного)))))))))

Да и потом: объем многогранника в любом случае зависит от длины его ребер.Тут явно есть какая-то закономерность. Хотелось бы узнать какие-либо обобщения и формулы, поясняющие эту зависимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение04.07.2011, 10:00 
Заслуженный участник


27/06/08
4065
Волгоград
alcoholist в сообщении #464858 писал(а):
А 100-вершинников (без самопересечений) с одинаковыми попарными расстояниями -- дофига
Откуда такая информация?
Мне представляется очевидным, что попарными расстояниями между вершинами многогранник задается однозначно. Причем с избытком.
Доказывается по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение04.07.2011, 14:14 
Заслуженный участник


25/02/11
1804
Almazov в сообщении #464865 писал(а):
Да и потом: объем многогранника в любом случае зависит от длины его ребер.Тут явно есть какая-то закономерность. Хотелось бы узнать какие-либо обобщения и формулы, поясняющие эту зависимость.

Есть изгибаемые многогранники, которые можно непрерывно деформировать, причем каждая грань в процессе деформации сохраняет форму. В частности, расстояния между точками одной грани сохраняются. Теорема Сабитова гласит, что любой изгибаемый многогранник в процессе деформации сохраняет свой объем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение04.07.2011, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Если я правильно понял доклад Сабитова (лет 6 назад), то объем, ограниченный многогранником, является корнем многочлена, коэффициентами которого являются алгебраические функции длин сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение04.07.2011, 18:41 
Аватара пользователя


25/03/08
241
VAL в сообщении #464970 писал(а):
Мне представляется очевидным, что попарными расстояниями между вершинами многогранник задается однозначно. Причем с избытком.
Доказывается по индукции.


Ну вот два многогранника с одними и теми же вершинами.
Изображение
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение04.07.2011, 18:54 


03/07/11
24
Vince Diesel в сообщении #465036 писал(а):
Almazov в сообщении #464865 писал(а):
Да и потом: объем многогранника в любом случае зависит от длины его ребер.Тут явно есть какая-то закономерность. Хотелось бы узнать какие-либо обобщения и формулы, поясняющие эту зависимость.

Есть изгибаемые многогранники, которые можно непрерывно деформировать, причем каждая грань в процессе деформации сохраняет форму. В частности, расстояния между точками одной грани сохраняются. Теорема Сабитова гласит, что любой изгибаемый многогранник в процессе деформации сохраняет свой объем.


Речь не о сохранении объема, а о зависимости его величины от длины ребер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение04.07.2011, 19:09 
Заслуженный участник


25/02/11
1804
Тогда смотрите работы Сабитова. Как указал alcoholist, объем - это корень некоторого многочлена, коэффициенты которого... Если степень этого многочлена может быть выше четырех, то, вероятно, объем может не выражаться через элементарные функции от длин ребер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение04.07.2011, 19:11 
Заслуженный участник


27/06/08
4065
Волгоград
Nilenbert в сообщении #465165 писал(а):
VAL в сообщении #464970 писал(а):
Мне представляется очевидным, что попарными расстояниями между вершинами многогранник задается однозначно. Причем с избытком.
Доказывается по индукции.


Ну вот два многогранника с одними и теми же вершинами.
Изображение
Изображение
Картинки не отображаются :(
Хотя мысль ясна: попарные расстояния между вершинами позволяют с точностью до движения восстановить положение вершин, но не сам многогранник. Это имелось в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение05.07.2011, 06:23 
Аватара пользователя


25/03/08
241
VAL в сообщении #465180 писал(а):
Хотя мысль ясна: попарные расстояния между вершинами позволяют с точностью до движения восстановить положение вершин, но не сам многогранник. Это имелось в виду?

Да, это имелось в виду. Нt знаю, я проверял, картинки должны отображаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение05.07.2011, 10:24 


03/07/11
24
Киньте кто-нить ссылки на работы Сабитова, а то гугль нифига не находит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объемов многогранников
Сообщение05.07.2011, 12:42 
Заслуженный участник


25/02/11
1804
Ищется на раз: статьи, книжка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group